matematikk.net

Sliter med denne oppgaven:

Anta at du er i en middels stor by hvor det foretas 1000 PCR-baserte tester for Covid-19 hver dag.Det antas at hvorvidt hver enkelt test er positiv eller ikke er uavhengig p ̊a tvers av de innbyg-gerne som testes (og det tas ikke flere tester på samme dag av samme innbygger). Det antas at sannsynligheten for at hver enkelt test er positiv er 5%.

a) Hvilken fordeling har X=”antallet positive tester en gitt dag”.
Skriv ned uttrykket for P (X = 50) og regn det ut ved hjelp av R
Fordelingen til X tilnærmes med en Poisson-fordeling. Hvorfor?
Skriv ned uttrykket for P (X = 50) under denne tilnærmingen og regn det ut ved hjelp R.

Anta at Covid-19-situasjonen er stabil, s ̊a sannsynligheten for at hver test er positiv ikke endresover tid. La T =”antallet positive tester p ̊a en uke”

b) Hvilken fordeling har T .
Hvilken Poisson-fordeling vil T tilnærmet ha?
Ved hjelp av R, regn ut P (T ≤350) og P (T = 350) ved hjelp av Poisson-tilnærmingen.

Testene er uahengig av hverandre, gir samme sannsynlighet 0.05 for positiv tutfall og har to distinkte utfall, positiv eller ikke positiv.
Dette er altså en binomisk prosess, og fordelingen er binomisk.

$P(X = 50) = \binom{1000}{50}0.05^{50}*0.95^{950}$

Når sannsynligheten er liten og antallet forsøk stort er fordelingen tilnærmet en poisson-fordeling.

$Po(X = 50) = \frac{50^{50}}{50!}*e^{-50}$

Ved å bruke lommeregneren (eller R) ser vi at resulattet blir tilnærmet det samme.

Såvidt jeg kan se, skjer det ikke noe annet i det siste spørsmålet enn at antall forsøk i løpet av en uke blir 7* 1000 slik at det også her er snakk om en binomisk fordeling som (enda bedre) tilnærmes ved en possonfordeling.