Lagranges metoden / innsettingsmetoden

[ingvild123]

-

[SpreVitenskapVidere]

Svaret på denne oppgaven er ment som julegave til folk som sliter med matte

a)
Bibetingelsen er gitt ved
\begin{align}
20x+45y=1080
\end{align}
For å finne maksimum nytte må vi bruke Lagrange metode
\begin{align}
g(x,y)&=20x+45y\\
U(x,y)&=xy^2\\
c&=1080
\end{align}
Vi må løse følgene ligningssystem

$$\begin{cases}
\left( 1\right) \quad U_{x}^{'}-\lambda g_x^{'}=0\\
\left( 2\right) \quad U_y^{' }-\lambda g_y^{'}=0\\
\left( 3\right) \quad20x+45y=1080
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\left( 1\right)\quad y^2-20\lambda=0\\
\left( 2\right)\quad2xy-45\lambda=0\\
\left( 3\right) \quad20x+45y=1080
\end{cases}$$
Vi finner $\lambda$ fra (1) og (2) og setter dem lik hverandre så løser vi den nye ligningen (4) med (3),
\begin{align*}
&\begin{cases}
\left( 1\right)\quad\lambda=\frac{ y^2}{20}\\
\left( 2\right)\quad\lambda=\frac{ 2xy}{45}\\
\left( 3\right)\quad 20x+45y=1080
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\left(4\right)\quad \frac{ y^2}{20}=\frac{ 2xy}{45}\\
\left( 3\right) \quad 20x+45y=1080
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\left(4\right)\quad 45 y^2-40xy=0\\
\left( 3\right) \quad 20x+45y=1080
\end{cases} \\
& \left(4\right) \quad 45 y^2-40xy=0\Rightarrow y(45y-40x)=0\\
&Enten\quad y=0\Rightarrow \\
&\left( 3\right) \quad20x+45\cdot 0=1080 \Rightarrow x=\frac{1080}{20}=54\\
&Eller \quad 45y-40x=0\Rightarrow x=\frac{45y}{40}=\frac{9y}{8}
\Rightarrow\\&
\left( 3\right) \quad 20\cdot\frac{9y}{8}+45y =1080 \Rightarrow\frac{135}{2}y =1080 \Rightarrow y=\frac{1080\cdot 2}{135} =16\\
& x=\frac{9\cdot 16}{8}=18
\end{align*}
Vi har fått to punkter $(54,0),(18,16)$ og vi må regne nytten i begge to,
\begin{align*}
U\left( 54,0\right) =54\cdot 0^{2}=0\\
U\left( 18,16\right) =18\cdot 16^{2}=4608
\end{align*}
Så vi må kjøpe 18 enheter av være 1 og 16 enheter av være 2 for å få maksimal nytte.


b)
Ny Bibetingelse blir,
$30x+45y=1080$
Vi må løse følgene ligningssystem på samme måte som i deloppgave a)

$$\begin{cases}
\left( 1\right) \quad U_{x}^{'}-\lambda g_x^{'}=0\\
\left( 2\right) \quad U_y^{' }-\lambda g_y^{'}=0\\
\left( 3\right) \quad 30x+45y=1080
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\left( 1\right) \quad y^2-30\lambda=0\\
\left( 2\right) \quad 2xy-45\lambda=0\\
\left( 3\right) \quad 30x+45y=1080
\end{cases}$$
og får to punkter $(36,0),(12,16)$ og vi må regne nytten i begge to,
\begin{align*}
U\left( 36,0\right) =54\cdot 0^{2}=0\\
U\left( 12,16\right) =12\cdot 16^{2}=3072
\end{align*}
Så vi må kjøpe 12 enheter av være 1 og 16 enheter av være 2 for å få maksimal nytte.

[ingvild123]

Du var fantastisk snill! Tusen tusen takk for hjelp! Jeg skal bli like god som deg når eksamen kommer

[SpreVitenskapVidere]

Du var fantastisk snill! Tusen tusen takk for hjelp! Jeg skal bli like god som deg når eksamen kommer

Bære hyggelig. Håper at det skal bli bedre etterhvert. Husk at å forstå dette faget er viktig for senere fag som mikro og makro økonomi og kanskje andre økonomi fag.