Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Hei
Jeg har en oppgave som jeg sliter med å forstå jeg vet at den er lang og vanskelig skrevet;
Ved et kullkraftverk har miljøaktivister demonstrert mot forhøyet verdier av radioaktivt materialet i innsjøen ved kullkraftverket. Verket på sin side mener at de har utslippene under kontroll, at det bare tilføres en svært litenmengde radioaktivt materiale til innsjøen årlig, og at mengden radioaktivt materiale henfaller raskt. Miljøaktivistene på sin side mener at selv en litenmengde radioaktivt materiale tilført per år, vil ha katastrofal påvirkning for den totale mengden radioaktivt materiale. Deres gruppe leies inn som upartiske konsulenter for å undersøke om dette stemmer. De radioaktive prosessene gjør at stoffet brytes ned med en fart som er proporsjonal med den stoffmengden som er igjen + mengden tilførtradioaktivt materiale årlig2. Deres oppgave er å sette opp en modell for mengden radioaktivt materiale som er igjen etter X år. Her må dere sette opp differensiallikning som beskriver situasjonen og løse denne. Dere velger selv hvilket stoff dere ser på, og hvor mye radioaktivt materialet som er ved starten. Halveringstiden til stoffet, og stoffmengden i starten kan brukes til å bestemme de ukjente konstantene. Vis grafisk hvordan små mengder tilførtradioaktivt materialet påvirker stoffmengden som er igjen etter svært lang tid. Avgjør blant annet hvor mye radioaktivt materialet som må tilføres årlig for at mengden radioaktivt materialet holder seg konstant.
Jeg regner med at for nedbrytningen så kan jeg bruke Rutherford modellen, men jeg klarer ikke å forstå hvordan jeg skal gjøre dette videre.
Kall mengden radioaktivt stoff til enhver tid for m og utgangsmengden av stoffet for $m_0$. Siden nedbrytningsfarten er proporsjonal med m, fås følgende enkle differensiallikning:
$m´= k*m$ hvor k er proporsjonalitetsfaktoren. Den generelle løsningen til denne differnsiallikningen er
$m = m_0\cdot e^{kt}$
Vi kan bestemme k for stoffet ved å skaffe oss informasjon om stoffets halveringstid. La os si at stoffet er $^{137}cesium$. På nettet finner vi lett at $^{137 }cesium$ har halveringstiden 30.1 år.
Da får vi:
$\frac{1}{2}m_0 = m_0e^{k\cdot 30.1}$
$ k = \frac{-ln2}{30.1} = -0.023 => m = m_0e^{-0.023t}$
I oppgaven tilføres det årlig noe radioaktivt stoff, $q$, til den allerede eksisterende mengden. Det gir følgende differensialikning:
$ m´= km + q$
Denne kan løses, og det går frem av uttrykket for løsningen hvor mye årlig tilførsel av radiaktivt som holder m konstant.
Takk jeg vet fortsatt ikke på om jeg er sikker på at jeg forstår hvordan dette funker, når du sier at m'=km+q kan løses hva er det da man kommer frem til
Hei igjen!
Du skriver: Takk jeg vet fortsatt ikke på om jeg er sikker på at jeg forstår hvordan dette funker, når du sier at m'=km+q kan løses hva er det da man kommer frem til
Man kommer frem til løsningen av en ordinær differensiallikning av 1. orden med konstante koeffisienter, altså: m´= km + q. Løsningen for denne, en funksjon som passer i likningen, finnes i alle elementære lærebøker. Tenkte dette var en oppgave for spørsmålstiller.
