Kovarians-matrise av flervariabel normalfordeling

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
erikalexander
Cayley
Cayley
Innlegg: 61
Registrert: 31/01-2016 15:50

Heisann :)

Jeg prøver å gjøre oppgave 9 b) i denne samlingen: https://www.uio.no/studier/emner/matnat ... _2021a.pdf

Der skal jeg vise at kovarians-matrisen til den multivariable normalfordelingen

$p( x) =\frac{1}{( 2\pi )^{k/2}| \Sigma | ^{1/2}}\exp\left\{-\frac{1}{2}( x-\xi )^{T} \Sigma ^{-1}( x-\xi )\right\} ,\ x\in \mathbb{R}^{k}$

er $\Sigma$.

Her er $\xi=E(x)$ og $|\Sigma|=\mathrm{det}\Sigma$.

Forsøket mitt så langt:

$\mathrm{Var}( x) =\int ( x-\mathrm{E}( x))( x-\mathrm{E}( x))^{T} p( x) dx$

$=\int uu^{T} p( u) d^{k} u=\frac{1}{( 2\pi )^{k/2}| \Sigma | ^{1/2}}\int uu^{T}\exp\left\{-\frac{1}{2} u^{T} \Sigma ^{-1} u\right\} du$

Her er jeg litt usikker på hvordan jeg bør gå frem, men jeg antar at jeg har lov til å bruke at $\Sigma^{-1}$ er symmetrisk, og at den da er ortogonalt diagonaliserbar, $\Sigma^{-1}=P^TDP$, der søylene til $P^T$ er de ortonormale egenvektorene til $\Sigma^{-1}$, og $D=\mathrm{diag}\left( \sigma _{1}^{-1} ,\dotsc ,\sigma _{k}^{-1}\right)$ har egenverdiene til $\Sigma^{-1}$ på diagonalen.

Da får jeg at

$u^{T} \Sigma ^{-1} u=u^{T} P^{T} DPu=( Pu)^{T} DPu=\sum _{i}^{k} \sigma _{i}^{-1}( Pu)_{i}^{2} \equiv \sum _{i}^{k} \sigma _{i}^{-1} y_{i}^{2}$,

der jeg har definert $y=Pu$, og da bør integralet være

$\mathrm{Var}( x) =\frac{1}{( 2\pi )^{k/2}| \Sigma | ^{1/2}}\int P^{T} yy^{T} P\exp\left\{-\frac{1}{2}\sum _{i}^{k} \sigma _{i}^{-1} y_{i}^{2}\right\} dy$

$=\frac{1}{( 2\pi )^{k/2}| \Sigma | ^{1/2}} P^{T}\int yy^{T}\exp\left\{-\frac{1}{2}\sum _{i}^{k} \sigma _{i}^{-1} y_{i}^{2}\right\} dyP$.

Da står jeg igjen med noe som kunne ha blitt faktorisert til $k$ Gaussiske integraler, om det ikke hadde vært for faktoren $yy^T$ inne i integranden. Denne faktoren er jeg usikker på hvordan jeg skal håndtere.

Takk for alt av hjelp og tips på forhånd :)
Svar