Kardinalfunksjoner/Lagrange-polynomer

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Hei, hadde forleden en dag en forelesning der det ble snakket om bl.a. Kardinalfunksjonene med egenskapene

[tex]\mathscr{l}_i \in \mathbb{P}_n[/tex]
[tex]\mathscr{l}_i(x_j)=\delta_{ij}[/tex]

[tex]\mathscr{l}_i(x)=\prod_{j=0, j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}[/tex]

og hvordan de brukes til bl.a. Interpolasjon. De er forholdsvis enkle å utnytte til dette formålet, og bruken av de er ikke problemet i det hele tatt. Foreleser gjorde dog en forholdsvis forvirrende jobb med å forklare hvor de kom fra, så det jeg lurer på er om noen kunne ha gitt en liten TL;DR på hva motivasjonen og hensikten med kardinalfunksjonene er sånn helt egentlig sånn foruten konteksten vi fikk den introdusert gjennom.
Emilga
Riemann
Riemann
Innlegg: 1552
Registrert: 20/12-2006 19:21
Sted: NTNU

Poenget er at hvis du har en mengde av $n+1$ punkter av typen $(x_i, y_i)$, så vil de generelt definere et unikt $n$tegrads polynom $P$ som går gjennom dem (dvs. $P(x_i) = y_i$). Dette er det såkalte Lagrange (interpolation) polynomial. (Forutsatt at alle $x_i$ er distinkte, samt f.eks. at ikke alle $(x_i,y_i)$ er kolineære, siden $P$ da vil reduseres til en rett linje).

Utfordringen nå ligger i å finne et eksplisitt uttrykk for $P(x)$ gitt $\{(x_i, y_i)\}_{i=1}^{n+1}$.

Dette er jo ikke helt trivielt, siden polynomer vanligvis karakteriseres av hvor de har nullpunkter, og ikke hvor de oppnår en gitt funksjonsverdi.

Så la oss starte med polynomet $\Pi_{i=1}^{n+1} (x-x_i)$ som åpenbart har nullpunktene $x_1, x_2, \ldots, x_{n+1}$.

Dersom vi kvitter oss med en faktor $(x-x_j)$ i uttrykket over, så vil polynomet $\Pi_{i=1, i \neq j}^{n+1} (x-x_i)$ ikke lenger ha nullpunkt i $x_j$, men oppnå en bestemt verdi i dette punktet. Vi kan normere denne verdien til $1$ ved å dele på tallverdien $\Pi_{i\neq j} (x_j-x_i)$.

Altså har vi nå et $n$tegrads polynom $\ell_j(x) := \Pi_{i=1, i \neq j}^{n+1} \frac{ x-x_i }{x_j - x_i}$ med følgende egenskaper: 1) $\ell_j(x_j) = 1$, og 2) $\ell_j(x_i) = 0$ når $i \neq j$.

Altså kan vi bruke $\ell_j$ene som "basisfunksjoner" til vårt Lagrange interpolation polynomial med $y_j$ som vekter. Dvs. vi skriver:

$P(x) = \sum_{j=1}^{n+1} y_j \ell_j(x)$.

$P$ er da det unike $n$tegrads polynom som tilfredstiller $P(x_i) = y_i$ som ønsket.
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Takk, det gjorde det betraktelig mye mer fordøyelig!
Svar