DERIVASJON

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

DERIVASJON

Innlegg kjøleskap » 03/05-2021 12:13

Hei, jeg sliter litt med derivasjon og denne oppgaven irriterer meg! Kan noen flinke folk hjelpe meg?


En brusfabrikk har bestemt seg for å begynne å selge 1,5 L brus i sylinderformede bokser av aluminium, og må bestemme seg for hvordan disse boksene skal se ut. De vil selvfølgelig være miljøbevisste og bruke minst mulig aluminium for å lage boksene sine.

a) Finn ved derivasjon dimensjonene til den sylinderformede boksen som gjør at brusfabrikken bruker minst mulig aluminium. Hvor mange kvadratcentimeter aluminium trenger fabrikken pr boks?

b) Kontroller utregningen din i a) med å plotte formelen din i Geogebra og forklar hvordan du tolker grafen. Forklar også hvordan du kunne brukt regneark/tabell til å finne et anslag på det samme spørsmålet.
kjøleskap offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 4
Registrert: 03/05-2021 12:06

Re: DERIVASJON

Innlegg LektorNilsen » 03/05-2021 14:30

kjøleskap skrev:Hei, jeg sliter litt med derivasjon og denne oppgaven irriterer meg! Kan noen flinke folk hjelpe meg?


En brusfabrikk har bestemt seg for å begynne å selge 1,5 L brus i sylinderformede bokser av aluminium, og må bestemme seg for hvordan disse boksene skal se ut. De vil selvfølgelig være miljøbevisste og bruke minst mulig aluminium for å lage boksene sine.

a) Finn ved derivasjon dimensjonene til den sylinderformede boksen som gjør at brusfabrikken bruker minst mulig aluminium. Hvor mange kvadratcentimeter aluminium trenger fabrikken pr boks?

b) Kontroller utregningen din i a) med å plotte formelen din i Geogebra og forklar hvordan du tolker grafen. Forklar også hvordan du kunne brukt regneark/tabell til å finne et anslag på det samme spørsmålet.


Her må man altså komme frem til et uttrykk for overflatearealet av sylinderen, uttrykt ved en variabel (f.eks. x).
Skal vi være meget presise, er det orflatearealet av innsiden av boksen vi må se på, siden den skal romme 1,5 liter, uavhengig av tykkelsen på "godset".

Overflaten er satt sammen av to like store sirkler og et rektangel. Når vi setter radius lik x, vil hver av sirklene ha areal [tex]\pi \cdot x^2[/tex]
.
Rektagelet har grunnlinje tilsvarende omkretsen av sirklene, altså [tex]2\pi \cdot x[/tex]. Høyden til rektangelet kan vi finne ved å dele volumet av sylinderen på arealet av grunnflaten.
Om vi tenker oss at lengdene vi opererer med er cm, vil høyden da være gitt ved [tex]\frac{1500}{\pi \cdot x^2}[/tex].
Arealet av rektangelet er da [tex]2\pi \cdot x\cdot \frac{1500}{\pi \cdot x^2}=\frac{3000}{x}[/tex].

Vi kan da si at det totale overflatearealet er F(x) [tex]cm^2[/tex], der F(x) er gitt ved [tex]F(x)=2 \pi x^2+\frac{3000}{x}[/tex], når radius i grunnflaten er x cm.

Så gjelder det å finne ut hvilke mål boksen må ha når dette overflatearealet er så lite som mulig. (Lykke til :) )
LektorNilsen offline
Jacobi
Jacobi
Innlegg: 321
Registrert: 02/06-2015 14:59

Re: DERIVASJON

Innlegg jos » 03/05-2021 14:39

Hei igjen!

Du må finne et uttrykk for aralet av boksen. Topp og bunn er to sirkelflater med radius r. Veggen er et kvadrat med høyde h og lengde 2πr.

Så arealet $A = 2\pi r^2 + 2h\pi r$

I tillegg er volumet 1.5 d$m^3 : \pi r^2 h = 1.5 => h = \frac{1.5}{\pi r^2}$

Sett inn for h i uttrykket for A og deriver mhp. r. Da finner du den r-verdien som minimerer arealet av boksen.
jos offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 145
Registrert: 04/06-2019 11:01

Re: DERIVASJON

Innlegg kjøleskap » 04/05-2021 20:44

Takk for all hjelp!
kjøleskap offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 4
Registrert: 03/05-2021 12:06

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 16 gjester