matematikk.net

Hallo. En viss type lyspære har en levetid som er eksponensialfordelt med parameter λ. En stikkprøve av n pærer gir levetidene x1, x2, . . . , xn.
Bestem maksimum-likelihoodestimatet av parameteren
Skjønner ikke hvordan man skal estimere denne.
Forstår at man må bruke eksponentialfunksjonen f(x)= λe^(- λx)
Men hva gjør man videre? Takk.

Anta $X_1,X_2,\dots,X_n$ er et tilfeldig utvalg fra en generell $f(x;\theta)$-populasjon. For å finne sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (Maximum-likelihood estimate) kan du gjøre følgende

1) Finn simultan fordelingen til $X_1,X_2,\dots,X_n$
$$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$$

2) Definer rimelighetsfunksjonen
$$L(\theta)=f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$$

3) Vi kan forenkle rimelighetsfunksjonen i de fleste tilfeller ved å ta log-rimelighetsfunksjonen
$$l(\theta)=\ln(L(\theta))=\sum_{i=1}^n \ln(f(x_i;\theta))$$

4) Maksimer denne mhp. parameteren ved partiellderivasjon eller evt. fortegnstest, dvs. løs
$$\frac{\partial l}{\partial \theta}=0$$

5) Konkluder med å skrive opp estimatoren du får ut.

I dette tilfellet

[tex]L(\theta)=\prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda x_i}=\lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i}=\frac{\lambda^n}{e^{\lambda\sum_{i=1}^n x_i}}\Rightarrow l(\theta)=\ln(L(\theta))=\ln \lambda^n-\lambda\sum_{i=1}^n x_i[/tex]

Så maksimerer vi ved å ta

[tex]\frac{\partial l}{\partial \lambda}=\frac{n}{\lambda}-\sum_{i=1}^n x_i=0\Rightarrow \frac{n}{\lambda}=\sum_{i=1}^n x_i \Rightarrow \lambda=\frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}\Rightarrow \hat{\lambda}=\frac{N}{\sum_{i=1}^n X_i}[/tex]

Maksimum likelihood estmator for parameteren $\lambda$ i en eksponentiell fordeling er $\frac{n}{x_1 + x_2 + x_3 + \cdot\cdot\, + \, x_n}$

hvor $x_1, x_2, , , x_n$ er observasjonene og $n$ er antall observasjoner.

For en instruktiv forklaring, se denne videoen: https://www.youtube.com/watch?v=p3T-_LMrvBc