likelihood estimat

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

likelihood estimat

Innlegg dgekela » 21/04-2021 11:40

Hallo. En viss type lyspære har en levetid som er eksponensialfordelt med parameter λ. En stikkprøve av n pærer gir levetidene x1, x2, . . . , xn.
Bestem maksimum-likelihoodestimatet av parameteren
Skjønner ikke hvordan man skal estimere denne.
Forstår at man må bruke eksponentialfunksjonen f(x)= λe^(- λx)
Men hva gjør man videre? Takk.
dgekela offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 1
Registrert: 08/04-2021 08:36

Re: likelihood estimat

Innlegg Kay » 21/04-2021 12:57

Anta $X_1,X_2,\dots,X_n$ er et tilfeldig utvalg fra en generell $f(x;\theta)$-populasjon. For å finne sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (Maximum-likelihood estimate) kan du gjøre følgende

1) Finn simultan fordelingen til $X_1,X_2,\dots,X_n$
$$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$$

2) Definer rimelighetsfunksjonen
$$L(\theta)=f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$$

3) Vi kan forenkle rimelighetsfunksjonen i de fleste tilfeller ved å ta log-rimelighetsfunksjonen
$$l(\theta)=\ln(L(\theta))=\sum_{i=1}^n \ln(f(x_i;\theta))$$

4) Maksimer denne mhp. parameteren ved partiellderivasjon eller evt. fortegnstest, dvs. løs
$$\frac{\partial l}{\partial \theta}=0$$

5) Konkluder med å skrive opp estimatoren du får ut.

I dette tilfellet

[tex]L(\theta)=\prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda x_i}=\lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i}=\frac{\lambda^n}{e^{\lambda\sum_{i=1}^n x_i}}\Rightarrow l(\theta)=\ln(L(\theta))=\ln \lambda^n-\lambda\sum_{i=1}^n x_i[/tex]

Så maksimerer vi ved å ta

[tex]\frac{\partial l}{\partial \lambda}=\frac{n}{\lambda}-\sum_{i=1}^n x_i=0\Rightarrow \frac{n}{\lambda}=\sum_{i=1}^n x_i \Rightarrow \lambda=\frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}\Rightarrow \hat{\lambda}=\frac{N}{\sum_{i=1}^n X_i}[/tex]
[tex]\rho \frac{D\textbf{v}}{Dt}=-\nabla p+\rho\textbf{g}+\mu \nabla^2\textbf{v}[/tex]
Kay offline
Abel
Abel
Innlegg: 657
Registrert: 13/06-2016 18:23
Bosted: Gløshaugen

Re: likelihood estimat

Innlegg jos » 21/04-2021 13:04

Maksimum likelihood estmator for parameteren $\lambda$ i en eksponentiell fordeling er $\frac{n}{x_1 + x_2 + x_3 + \cdot\cdot\, + \, x_n}$

hvor $x_1, x_2, , , x_n$ er observasjonene og $n$ er antall observasjoner.

For en instruktiv forklaring, se denne videoen: https://www.youtube.com/watch?v=p3T-_LMrvBc
jos offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 124
Registrert: 04/06-2019 11:01

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 40 gjester