matematikk.net

Jeg har en sirkel (x -1)^2 + z^2 = 1 i xz planet, som roteres om z aksen. Jeg får omdreiningslegemet som kalles B.
S er overflaten til B ,og er gitt ved likningen R=2sin("FI"). Finn volumet til omdreiningslegemet B. Jeg ønsker å løse denne med å sette opp trippelintegral. Hvordan går jeg frem?

Her får du vel en horn-torus, så $a=R$, men generelt, la $R$ være avstanden fra origo til sentrum og $a$ være den lille radiusen i torusen, dvs. sirkelradien. Vi kan bruke sylinderkoordinater, fordi det å bruke kulekoordinater er tåpelig tungvingt i denne situasjonen. På $(r,z)$-aksen får vi da at en generell sirkel på formen

$$(r-R)^2+z^2=a^2$$

Så integrerer vi fra $(R-a)$ til $(R+a)$ og ganger det med to, da det er lettere. Så vi setter opp trippelintegralet

[tex]V=2\int_{0}^{2\pi}\int_{R-a}^{R+a}\int_{0}^{\sqrt{a^2-(r-R)^2}}dzrdrd\theta[/tex]

Merk at tversnittet er uavhengig av $\theta$ så du kan bare trekke det ut direkte.