matematikk.net

To personer skal trekke fem kort hver fra en vanlig kortstokk med 52 kort. (De trekker fem kort om gangen)
1. Hvor mange kombinasjoner av 5 kort kan trekkes til sammen av de to personene?

Nå skal de to personene trekke 5 kort hver (fra en kortstokk med 52 kort), men de skal trekke annenhver gang.
2. Hvor mange kombinasjoner av 5 kort kan trekkes av person 1, og hvor mange av person 2?

Så trekker vi 10 kort (fra en kortstokk med 52 kort) for så og fordele dem ut til de to personene.
3. Hvor mange forskjellige måter kan dette gjøres på?

4. Skal bevise [tex]\binom{n}{2m}\binom{2m}{m}=\binom{n}{m}\binom{n-m}{m}[/tex] ved bruk av binomialformel og ved et kombinatorisk argument


Trenger hjelp til disse oppgavene?

Antall sits for de to når hver trekker fem kort etter hverandre fra en vanlig kortstokk:

$\frac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5!} * \frac{47\cdot46\cdot45\cdot44\cdot43}{5!}$

Antall kombinasjoner når de trekker annenhver gang for person 1:


$\frac{52\cdot50\cdot48\cdot46\cdot44}{5!}$


Antall kombinasjoner når de trekker annenhver gang for person 2:

$\frac{51\cdot49\cdot47\cdot45\cdot43}{5!}$

Antall sits for de to når det først trekkes 10 kort og så fordeles disse likt mellom personene:

$\frac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48 \cdot47\cdot46\cdot45\cdot44\cdot43}{10!} * \frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5!}$

$\binom{n}{2m}\cdot\binom{2m}{m} = \frac{n!}{(2m)!\cdot(n - 2m)!} * \frac{(2m)!}{m!\cdot(2m - m)!} =

\frac{n!}{(n - 2m)!} * \frac{1}{m!\cdot m!}$

$\binom{n}{m}\cdot\binom{n - m}{m} = \frac{n!}{m!\cdot (n - m)!} * \frac{(n - m)!}{m!\cdot (n - 2m)!} = \frac{n!}{(n - 2m)!} * \frac{1}{ m!\cdot m!}$


Det å først trekke 10 kort for så å fordele disse likt mellom person1 og person2 mot det å la person1 trekke fem kort i rekkefølge og så la person2 trekke 5 kort i rekkefølge er en distinksjon som ikke gjør noen forskjell når det gjelder antall kombinasjoner. Hvert utvalg som gjøres i det første tilfellet, har sin nøyaktige motpart i det andre tilfellet slik at det vil bli like mange kombinasjoner av utvalg. Likningene ovenfor forteller det samme, men bare generalisert fra 52 til n og fra 5 til m.