matematikk.net

Hei!

Skjønner rett og slett ikke hvordan jeg skal løse disse oppgavene, og lurer på om noen kan hjelpe meg?

Oppgaven er som følger:

Vi har kr 1080 til disposisjon som vi skal bruke til å kjøpe x enheter av vare 1 og y enheter av
vare 2.
Nytten eller gleden av å kjøpe x enheter av vare 1 og y enheter av vare 2 er gitt ved
U = x * y^2

a) Hvordan skal vi tilpasse oss for å få størst mulig nytte av beløpet vi har til disposisjon,
når prisen på x er kr 20, mens prisen på y er kr 45?

b) Nye avgiftsregler gjør at prisen på x øker til kr 30, mens prisen på y er uforandret. Hva
blir da tilpasningen?

Først vil vi skrive ned budsjettbetingelsen:

$20x+45y=1080$. (*)

Venstre side er total kostnad når vi kjøper $x$ enheter av varen som koster $20$ og $y$ enheter av varen som koster $45$. Vi ønsker å bruke opp hele budsjettet, altså setter vi den lik de $1080$ kronene vi har til rådighet.

Denne likningen gir oss en linje i $xy$-planet, og forteller oss hvilke kombinasjoner av varer $(x,y)$ vi har lov til å handle.

Vi vil nå finne den største verdien nytten $U(x,y) = xy^2$ kan ha når vi befinner oss på denne linjen.

Her er det to metoder:

Innsettingsmetoden:

Løs budsjettbetingelen (*) for én av bokstavene. F.eks. flytt og bytt slik at du får $x = \ldots$ noe.

Så setter du inn for $x$ i uttrykket du har for nytten $U$, slik at denne bare har $y$-er i seg.

Nå er $U$ bare avhengig av én variabel, altså kan vi derivere den (med hensyn på $y$) og sette den deriverte lik $0$ for å finne tallverdien til $y$ som gjør at $U$ oppnår sin maksimumsverdi.

Nå vet du $y$, og sette inn denne verdien i budsjettbetingelsen (*) for å finne tallverdien til $x$.

Du vet nå hvilken kombinasjon av varer $(x,y)$ vi vil kjøpe for å maksimere nytten $U$ uten å overskride budsjettet vårt.

Lagrangemetoden:

Skriv ned Lagrangefunksjonen for problemet: $\mathcal{L} = xy^2 - \lambda (20x+45y-1080)$.

Regn ut de partiellderiverte til $\mathcal{L}$ og sett dem lik null, slik at vi får tre likninger med tre ukjente:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0$

Løs dette likningssettet for å finne $x$ og $y$.

Teorien bak Lagrangefunksjonen, og hvordan vi skriver den ned, står nok forklart i boken. Personlig foretrekker jeg å bruke innsettingsmetoden.