matematikk.net

Kunne noen forklart følgende løsningsforslag for kongruensslikningen:
[tex]x\equiv 58^{5745}\mod59[/tex]

Løsningsforslaget sier at,
[tex]58\equiv (-1)\mod59[/tex]. Dette ser jeg.

Men det jeg har lurt på er hvorfor en da si at [tex]58^{5745}\equiv (-1)^{5745}[/tex].

Jeg skjønner altså at [tex]58[/tex] og [tex](-1)[/tex] delt på [tex]59[/tex] gir lik rest [tex]58[/tex], men jeg klarer ikke helt forstå hvorfor en bare kan erstatte [tex]58[/tex] med [tex](-1)[/tex], med tanke på potensen.

Er prinsippet at [tex](-1)[/tex] og [tex](58)[/tex] strengt tatt er "like" tall i "modulær forstand" (i dette tilfellet).?

Det ser ut som de har brukt regelen om kompatibilitet ved eksponentiering.

Dersom $a\equiv b \pmod n$, så har vi at $a^k \equiv b^k \pmod{n}$ for ikke-negative heltall $k$.

Her får vi at siden $58 \equiv (-1) \pmod{59}$, så gjelder også relasjonen dersom du setter inn en ikke-negativ, heltallig eksponent på $58$ og $(-1)$.