matematikk.net

Har IVP som skal løses

y''+4y=0, y(0)=2, y'(0)=1


Jeg har prøvd med kar. ligning og fikk et helt feil svar. Hvordan gjør jeg denne?

Gjest skrev:Har IVP som skal løses

y''+4y=0, y(0)=2, y'(0)=1


Jeg har prøvd med kar. ligning og fikk et helt feil svar. Hvordan gjør jeg denne?

det er en 2. ordens homogen ODE, der kar. likning er:

[tex]r^2+4=0[/tex]

[tex]r=\pm 2i[/tex]

hva svar fikk du?

Denne kan også løses ved å tenke litt logisk, uten å bruke karakteristisk likning. Vi skal altså få

$y'' = -4y$

Det betyr altså at vi skal derivere en funksjon to ganger, og ender opp med den samme funksjonen ganger en negativ konstant. Hva slags funksjonstype kan da dette være, som har denne egenskapen?

Jeg skrev kar. ligning feil [tex]r^{2}+4r=0[/tex], hvor jeg fikk [tex]r_{1}= -1[/tex] og [tex]r_{2}=-3[/tex] som gidde den generelle løsningen [tex]y_{h}=Ae^{-x}+Be^{-3x}[/tex]. Jeg ser at dere får [tex]r=\pm 2[/tex] mens fra andre kilder så står den generelle løsningen slik: [tex]y_{h}=Acos(2x)+Bsin(2t)[/tex], er det mulig med en dypere forklaring? er ganske forvirra med dette temaet...

Gjest skrev:Jeg skrev kar. ligning feil [tex]r^{2}+4r=0[/tex], hvor jeg fikk [tex]r_{1}= -1[/tex] og [tex]r_{2}=-3[/tex] som gidde den generelle løsningen [tex]y_{h}=Ae^{-x}+Be^{-3x}[/tex]. Jeg ser at dere får [tex]r=\pm 2[/tex] mens fra andre kilder så står den generelle løsningen slik: [tex]y_{h}=Acos(2x)+Bsin(2t)[/tex], er det mulig med en dypere forklaring? er ganske forvirra med dette temaet...

karakteristisk likning er:

[tex]r^2+4=0[/tex]
og gir:
[tex]r=\pm 2i[/tex]

dvs:

[tex]y(x)=A\sin(2x)+B\cos(2x)[/tex]

dette sjekker du lett fra boka di eller formelsamling...

Jeg kan jo også følge opp min alternative løsningsmetode:

Vi har at $y'' = -4y$.

Som nevnt sier dette at vi skal derivere en funksjon to ganger, og ende opp med den samme funksjonen ganger en negativ konstant. De funksjonene som har denne egenskapen er sinus- og cosinusfunksjoner:
Siden $(\sin{x})' = \cos{x}$ og $(\cos{x})' = -\sin{x}$, får vi at $(\sin{x})'' = -\sin{x}$ og $(\cos{x})'' = -\cos{x}$.

I tillegg til det negative tegnet har vi også fått inn konstanten $4$, og det vil skje dersom argumentet er $2x$ pga. kjerneregelen:
$(\sin(2x))' = \cos(2x)\cdot 2 = 2\cos(2x)$
$(\sin(2x))'' = (2\cos(2x))' = -4\sin(2x)$
(og tilsvarende når vi dobbelderiverer $\cos(2x)$).

Kombinerer vi en sinus- og en cosinus-funksjon vil også disse egenskapene gjelde, slik at vi får
$y(x) = \sin(2x) + \cos(2x)$
som en løsning.

Vi kan imidlertid også ha noen konstanter $A$ og $B$ her, siden om vi deriverer følgende:
$\bigr(A\sin(2x)\bigl)' = A\cdot 2\cos(2x)$
$\bigr(A\sin(2x)\bigl)'' = (A\cdot 2\cos(2x))' = -A\cdot 4\sin(2x) = -4\cdot A\sin(2x)$
så opprettholder vi fortsatt betingelsen om at den dobbeltderiverte skal bli en faktor $-4$ ganger den opprinnelig funksjonen. Dermed ender vi med den generelle løsningen:

$y(x) = A\sin(2x) + B\cos(2x)$