Komplekse tall og komplekse røtter

[123oyo]

Hei
jeg har fått denne oppgave (se bilde)

noen gode forslag til hvordan jeg kan løse den
tenkte først jeg kunne faktorisert utrryket slik at jeg endte opp med
z = 0
z = -1
z = sqrt(-25)
men hvilken røtter er det jeg skal finne, fjerderøtter siden det er et fjerdegradspolynom? eller er jeg helt på vil spor

[Mattebruker]

f( z ) = z[tex]^{4}[/tex] + z[tex]^{3}[/tex] + 25z[tex]^{2}[/tex] + 25 z = z[tex]^{3}[/tex] ( z + 1 ) + 25z( z + 1 ) =

( z +1 ) ( z[tex]^{3}[/tex] + 25 z ) = ( z +1 ) * z * ( z + 5i )( z - 5i )

a) Finn alle røtene:

f( z ) = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] ( Produktregelen: a [tex]\cdot[/tex] b = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] a = 0 [tex]\vee[/tex] b = 0 ) z + 1 = 0 ..........o.s.v.

[Gjest]

f( z ) = z[tex]^{4}[/tex] + z[tex]^{3}[/tex] + 25z[tex]^{2}[/tex] + 25 z = z[tex]^{3}[/tex] ( z + 1 ) + 25z( z + 1 ) =

( z +1 ) ( z[tex]^{3}[/tex] + 25 z ) = ( z +1 ) * z * ( z + 5i )( z - 5i )

a) Finn alle røtene:

f( z ) = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] ( Produktregelen: a [tex]\cdot[/tex] b = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] a = 0 [tex]\vee[/tex] b = 0 ) z + 1 = 0 ..........o.s.v.

Er det et triks å bruke konjugatsetningen på (z[tex]^{2}[/tex]+5[tex]^{2}[/tex]) ved da å legge "i" bak b? Funker dette alltid?

[Mattebruker]

Svaret på ditt spørmål : JA !

z[tex]^{2}[/tex] + 5[tex]^{2}[/tex] = z[tex]^{2}[/tex] - ( - 1 ) 5[tex]^{2}[/tex] = ( -1 = i[tex]^{2}[/tex] ) = z[tex]^{2}[/tex] - ( 5i )[tex]^{2}[/tex] = ( konjugatsetninga ) ( z + 5i ) ( z - 5i )