Optimering med partiell derivasjon

[Quantonium]

Hei! Jeg sliter med en oppgave om optimering. De andre oppgavene har vært basert på løsning ved hjelp av partiell derivasjon.



Oppgaven:

Et rektangel har hjørner (0,0), (0,y), (x,0) og (x,y).

a) Vis at forholdet mellom kvadratet av omkretsen og arealet tar sin største verdi når x = y.
Hvor stor er denne verdien?

b) (mindre viktig) Sammenlikn svarene med forholdet mellom kvadratet av omkretsen og arealet
av en sirkel.


Mitt forsøk:

Dette er det jeg har prøvd, og eneste jeg klarer å komme på at muligens ville løst oppgaven:
Jeg setter areal A = x*y og omkrets O = 2x+2y. Så satt jeg O og A opp som en funksjon av x og y.
[tex]f(x, y)=\frac{O^2}{A}[/tex]
for deretter å derivere med hensyn på x og y separat, sette uttrykkene lik null, og løse likningssettet for å finne kritiske punkter.
Dette funket ikke!



Hadde vært kjempefint hvis noen kunne gitt meg noen pointers!

[DennisChristensen]

Hei! Jeg sliter med en oppgave om optimering. De andre oppgavene har vært basert på løsning ved hjelp av partiell derivasjon.



Oppgaven:

Et rektangel har hjørner (0,0), (0,y), (x,0) og (x,y).

a) Vis at forholdet mellom kvadratet av omkretsen og arealet tar sin største verdi når x = y.
Hvor stor er denne verdien?

b) (mindre viktig) Sammenlikn svarene med forholdet mellom kvadratet av omkretsen og arealet
av en sirkel.


Mitt forsøk:

Dette er det jeg har prøvd, og eneste jeg klarer å komme på at muligens ville løst oppgaven:
Jeg setter areal A = x*y og omkrets O = 2x+2y. Så satt jeg O og A opp som en funksjon av x og y.
[tex]f(x, y)=\frac{O^2}{A}[/tex]
for deretter å derivere med hensyn på x og y separat, sette uttrykkene lik null, og løse likningssettet for å finne kritiske punkter.
Dette funket ikke!



Hadde vært kjempefint hvis noen kunne gitt meg noen pointers!

Oppgaveteksten er feil. Når $x=y$ får vi $f(x,y) = (4x)^2/x^2 = 16$, men det er enkelt å konstruere et rektangel med større $f$-verdi enn dette. For eksempel, om vi setter $x=1$ ser vi at $f(x,y) = f(1,y) = (4 + 8y + 4y^2)/y = 4/y + 8 + 4y$. Altså ser vi at $f(1,y)\rightarrow\infty$ når $y\rightarrow 0$, så vi kan få så store $f$-verdier vi ønsker, bare vi velger $y>0$ liten nok.

Hvilken bok eller forelesningsserie har gitt deg denne tullete oppgaven?

[Quantonium]

Jeg er forsåvidt enig i det du sier, men jeg tror oppgaven heller gikk ut på å vise at selve forholdet mellom de to, er størst når x er like stor som y. Mulig det var det du tenkte på også; det var en rar oppgave!

Den er fra kompendiet som brukes som pensumboka for MAT1050 - matematikk for anvendelser 1 på UiO.

Forøvrig brukte nettopp geogebra til å løse likningssettet, og endte opp med løsninger som sier {{x=x, y=x}, {x=x, y= -x}}. Jeg tolker det som at funksjonen har kritiske punkter her, og et maksimum der x=y.

Takk for svar!

EDIT: ser på funksjonen nå.. blir bare mer forvirret. hehe mystisk

[DennisChristensen]

Gitt at du ikke har utelatt noe av oppgaveteksten, er ikke problemet veldefinert, slik jeg har vist ovenfor.

Om de derimot gir oss en passende betingelse, lar problemet seg løse. Det er helt sikkert dette de har ment, men det kommer ikke frem slik oppgaven er formulert.

Prøv heller å løs oppgaven med følgende alternativ formulering: Vis at dersom rektangelets sidelengde $x$ er en bestemt konstant $x_0$, så er $O^2/A$ maksimert når $y=x_0$.

[Quantonium]

Ja, det er slik det burde blitt formulert!

Det er ikke det første problemet jeg har hatt med dette kompendiet..