Komplekse tall og polar form

[Ferdiis]

Hei! Sliter med å forstå denne oppgaven:
----
La z og w være komplekse tall:

z = 3pi/4, w=-3pi/4

Skriv tallet e^z - e^w på polar form.
----

Da z og w er komplekse tall, tenkte jeg for z at a = 0, b= 3pi/4. Da er r = 3pi/4 og vinkel = 0. Gjorde det samme for w. Skrev da regnestykket på e-notasjon(re^i*t), men det blir feil! Noe hjelp å få?

[Hege Baggethun2020]

Heisann,

jeg får ikke Tex-editor til å fungere her akkurat nå, men kan gi deg følgende hint til løsning:

Benytt Eulers formel (e^ix = cosx + i*sinx) for å regne ut reell og imaginær del av hvert av de to uttrykkene e^z og e^w. Da blir det veldig enkelt å regne ut differansen e^z - e^w. Så kan du igjen uttrykke dette på eksponensialform for et endelig svar.

Skal skrive inn komplett svar når Tex-editor virker igjen, hvis du ønsker det.

Hilsen
Hege.

[Hege Baggethun2020]

Nå fungerer Tex-editor igjen:

[tex]e^{\frac{3i\pi }{4}} - e^{\frac{-3i\pi }{4}} = (cos(\frac{3\pi }{4}) +isin(\frac{3\pi }{4})) - (cos(\frac{3\pi }{4}) - isin(\frac{3\pi }{4}))[/tex] (hvor cosinus-uttrykkene sammenlagt blir null)
[tex]e^{\frac{3i\pi }{4}} - e^{\frac{-3i\pi }{4}} = 2i\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] [tex]=\sqrt{2}i[/tex] (benytter at [tex]sin(\frac{3\pi }{4})= \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] [tex]=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex])

Videre ser vi at [tex]\sqrt{2}i[/tex] har modulus [tex]\sqrt{2}[/tex] og argument [tex]\pi /2[/tex], slik at

[tex]e^{\frac{3i\pi }{4}} - e^{\frac{-3i\pi }{4}}[/tex] [tex]= \sqrt{2}e^{\frac{i\pi }{2}}[/tex]