Svarene skal vær pi/2 og 3pi/2
- image.jpg (1.82 MiB) Vist 1236 ganger
Trigenometrikse likninger
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hei, noen som kan hjelpe meg med denne. Har fått de to første svarene rett, men lurer på om jeg tuller litt med +/- forran kvadratroten, men jeg mener jeg har lest at en må ha både pluss og minus. Svare skal ligge mellom 0 og 2pi.
Svarene skal vær pi/2 og 3pi/2
Svarene skal vær pi/2 og 3pi/2
Du gjør en bra ting med regninga ganske tidlig, som er å gjenkjenne $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Men det er hovedsaklig to punkter som gjør at det går litt skeis.
1. Forsvunne løsninger
Den ene feilen du gjør, er å dele på $\cos(x)$ på begge sider. Som du vet, så kan vi ikke dele med $0$. Og det ser kanskje ikke ut som vi gjør det, men HVIS en av løsningene er en eller flere $x$-verdier som gjør at $\cos(x) = 0$, så betyr det at du har delt på 0, og disse løsningene vil da ikke dukke opp lengre. Vi risikerer altså å miste løsninger ved å dele på noe som KAN være 0.
En litt mer sikker måte vil være å samle alt på venstre side, faktorisere, og deretter se hvor vi står.
$$
\begin{align*}
\sin(2x) & = \sqrt3 \cos(x) \\
\sin(2x) - \sqrt3 \cos(x) & = 0 \\
2\sin(x)\cos(x) - \sqrt3 \cos(x) & = 0 \\
\cos(x)\left(2\sin(x) - \sqrt3 \right) & = 0
\end{align*}
$$
Og siden $ab = 0 \ \ \Rightarrow \ \ a=0 \vee b=0$ så har vi nå to likninger:
$$\cos(x) = 0 \quad \vee \quad 2\sin(x) - \sqrt3 = 0$$
Og enhver $x$ som oppfyller én eller begge likningene, oppfyller den opprinnelige likninga, så begge disse må nå løses, men det er to enklere likninger enn det vi starta med.
Merk at siden $\cos(x) = 0$ er en av likningene som oppfyller den opprinnelige likninga, så betyr det at det faktisk forsvant løsninger da du delte på $\cos(x)$.
$\cos(x) = 0$ gir løsningene $\frac{\pi}2 + \pi n$, så det gjenstår å finne $n$ som gjør at resultatet havner i det ønskede intervallet.
$\sin(x) = \frac{\sqrt3}{2}$ har løsningene $\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ og $\frac{\pi}3 + 2\pi n$, og det gjenstår å finne $n$ som gir resultat i ønsket intervall.
Det finnes totalt 4 løsninger. Du har funnet $\frac\pi3$ og $\frac{2\pi}3$, men som sagt så mangler du løsningene på $\cos(x) = 0$.
2. $\pm$
Tommel opp for å gjenkjenne ting som skurrer. $\pm$ er noe som forvirrer mange. Det bunner ut i følgende:
Si vi har likninga $x^2 = 9$. Før vi løser den, så vet vi at det finnes to løsninger, $x=3$ og $x=(-3)$. Måten vi passer på at vi får med begge, er ved å sørge for at når vi løser likninga, der vi tar kvadratrota på begge sider for å få $x^2 \rightarrow x$, så hiver vi på $\pm$ på høyre side, og får $x = \pm \sqrt9 = \pm 3$. Og nå har vi med både $3$ og $-3$ i løsningssettet.
Det ser ut som du har hevet på $\pm$ foran kvadratrota uten at det var noen grunn til det. Det eneste du gjorde i det steget var å dele på 2, og det er ikke noe som skaper dobbeltløsninger.
1. Forsvunne løsninger
Den ene feilen du gjør, er å dele på $\cos(x)$ på begge sider. Som du vet, så kan vi ikke dele med $0$. Og det ser kanskje ikke ut som vi gjør det, men HVIS en av løsningene er en eller flere $x$-verdier som gjør at $\cos(x) = 0$, så betyr det at du har delt på 0, og disse løsningene vil da ikke dukke opp lengre. Vi risikerer altså å miste løsninger ved å dele på noe som KAN være 0.
En litt mer sikker måte vil være å samle alt på venstre side, faktorisere, og deretter se hvor vi står.
$$
\begin{align*}
\sin(2x) & = \sqrt3 \cos(x) \\
\sin(2x) - \sqrt3 \cos(x) & = 0 \\
2\sin(x)\cos(x) - \sqrt3 \cos(x) & = 0 \\
\cos(x)\left(2\sin(x) - \sqrt3 \right) & = 0
\end{align*}
$$
Og siden $ab = 0 \ \ \Rightarrow \ \ a=0 \vee b=0$ så har vi nå to likninger:
$$\cos(x) = 0 \quad \vee \quad 2\sin(x) - \sqrt3 = 0$$
Og enhver $x$ som oppfyller én eller begge likningene, oppfyller den opprinnelige likninga, så begge disse må nå løses, men det er to enklere likninger enn det vi starta med.
Merk at siden $\cos(x) = 0$ er en av likningene som oppfyller den opprinnelige likninga, så betyr det at det faktisk forsvant løsninger da du delte på $\cos(x)$.
$\cos(x) = 0$ gir løsningene $\frac{\pi}2 + \pi n$, så det gjenstår å finne $n$ som gjør at resultatet havner i det ønskede intervallet.
$\sin(x) = \frac{\sqrt3}{2}$ har løsningene $\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ og $\frac{\pi}3 + 2\pi n$, og det gjenstår å finne $n$ som gir resultat i ønsket intervall.
Det finnes totalt 4 løsninger. Du har funnet $\frac\pi3$ og $\frac{2\pi}3$, men som sagt så mangler du løsningene på $\cos(x) = 0$.
2. $\pm$
Tommel opp for å gjenkjenne ting som skurrer. $\pm$ er noe som forvirrer mange. Det bunner ut i følgende:
Si vi har likninga $x^2 = 9$. Før vi løser den, så vet vi at det finnes to løsninger, $x=3$ og $x=(-3)$. Måten vi passer på at vi får med begge, er ved å sørge for at når vi løser likninga, der vi tar kvadratrota på begge sider for å få $x^2 \rightarrow x$, så hiver vi på $\pm$ på høyre side, og får $x = \pm \sqrt9 = \pm 3$. Og nå har vi med både $3$ og $-3$ i løsningssettet.
Det ser ut som du har hevet på $\pm$ foran kvadratrota uten at det var noen grunn til det. Det eneste du gjorde i det steget var å dele på 2, og det er ikke noe som skaper dobbeltløsninger.
