Side 1 av 1

Areal mellom kurver

InnleggSkrevet: 11/06-2020 10:55
Gjest
La D være området i høyre halvplan (dvs. x ≥ 0) begrenset av kurvene y = x, y = −x og x^2 + y^2 = 1.

Tegn D og finn arealet og tyngdepunktet.

Re: Areal mellom kurver

InnleggSkrevet: 11/06-2020 12:25
Kay
Nå har det seg slik at vi jobber med et forholdsvis enkelt område, så vi slipper å bruke integraler sånn eksplisitt. Det burde være ganske enkelt å observere at det du skal finne arealet av er en kvartsirkel. Ergo får du ganske enkelt arealet [tex]\textrm{Areal}(D)=\frac{1}{4} \pi r^2[/tex].


Når det gjelder tyngdepunktet er det litt styggere å finne, men la gå;

Tyngdepunktet er gitt ved

$(\bar{x}, \bar{y})=\left(\frac{1}{A}\int_a^bx(f(x)-g(x))dx, \frac{1}{A}\int_a^b \frac{1}{2}(f(x)^2-g(x)^2)dx\right)$,

her er det dog lettere å finne tyngdepunktet av samme funksjon over $x$-aksen og snu du finner på hodet, da de er symmetriske uansett.

Da får du at

$(\bar{x},\bar{y})=\left(\frac{4}{\pi r^2} \int_{-\sqrt{2}/2}^{\sqrt{2}/2}x(\sqrt{1-x^2}-|x|)dx=0, \frac{4}{\pi r^2} \int_{-\sqrt{2}/2}^{\sqrt{2}/2} \frac{1}{2}(1-x^2-|x|^2)=\frac{4}{3}\frac{\sqrt{2}}{\pi} \right)$.

Hvis vi så snur det på hodet får vi altså

$(\bar{x},\bar{y})=\left(\frac{4\sqrt{2}}{3\pi},0\right) $

Re: Areal mellom kurver

InnleggSkrevet: 11/06-2020 16:12
Gjest
Hvordan fant du hva f(x) og g(x) er?

Re: Areal mellom kurver

InnleggSkrevet: 11/06-2020 18:13
Kay
Gjest skrev:Hvordan fant du hva f(x) og g(x) er?


Hvis du tegner opp funksjonene, som oppgaven spør om, kan du ganske enkelt se at funksjonene som avgrenses er likningen for en halvsirkel [tex]f(x)=\sqrt{r^2-x^2}, r>0[/tex] og absolutt verdien av $x$, $g(x)=|x|$

Re: Areal mellom kurver

InnleggSkrevet: 11/06-2020 22:09
Gjest
Jeg har et annet spørsmål relatert til denne oppgaven.

La F(x,y) = (−y,x).
Finn linjeintegralet [tex]\oint_{\delta D}^{} F \cdot dr[/tex] både ved direkte utregning og ved å bruke Green’s teorem. (δD er randkurven til D, orientert mot klokka.)

Re: Areal mellom kurver

InnleggSkrevet: 12/06-2020 12:57
Kay
Gjest skrev:Jeg har et annet spørsmål relatert til denne oppgaven.

La F(x,y) = (−y,x).
Finn linjeintegralet [tex]\oint_{\delta D}^{} F \cdot dr[/tex] både ved direkte utregning og ved å bruke Green’s teorem. (δD er randkurven til D, orientert mot klokka.)


Ved første øyekast vil jeg hinte til at du prøver å bruke Green's teorem.

Re: Areal mellom kurver

InnleggSkrevet: 12/06-2020 17:39
Gjest
Jeg får ikke til den "direkte utregningen"

Re: Areal mellom kurver

InnleggSkrevet: 13/06-2020 10:06
josi
Gjest skrev:Jeg får ikke til den "direkte utregningen"


Har du informasjon om randkurven?

Re: Areal mellom kurver

InnleggSkrevet: 13/06-2020 12:01
Gjest
Randkurven er til område D gitt øverst i oppgaven

Re: Areal mellom kurver

InnleggSkrevet: 13/06-2020 12:05
Gjest
Gjest skrev:La D være området i høyre halvplan (dvs. x ≥ 0) begrenset av kurvene y = x, y = −x og x^2 + y^2 = 1.

Tegn D og finn arealet og tyngdepunktet.


Hvordan løser jeg denne ved bruk av polarkoordinater?

Re: Areal mellom kurver

InnleggSkrevet: 13/06-2020 13:41
Guest
Hei!

Hvordan fikk du kvadratroten til 2 delt på 2 i integralet? :)