matematikk.net

Trenger hjelp til denne her; på forhånd tusen takk.

Et badekar er fylt med vann som til å begynne med har temp på 55 grader. Romtemp er konstant 20 grader. La (y)t være vanntemp i grader celcius etter t timer.
a) forklar kort y`(t) er negativ.

Solvei skrev:Trenger hjelp til denne her; på forhånd tusen takk.

Et badekar er fylt med vann som til å begynne med har temp på 55 grader. Romtemp er konstant 20 grader. La (y)t være vanntemp i grader celcius etter t timer.
a) forklar kort y`(t) er negativ.

Her må man bruke Newtons avkjølingslov som sier at temperaturendringen pr. tidsenhet i et objekt er proporsjonal med temperaturdifferansen mellom objektet og omgivelsene. Er objektet varmere enn omgivelsene vil proporsjonalitetskonstanten være negativ. I oppgaveteksten er badekaret fylt med vann objektet og rommet det står i, omgivelsene. y(t) = temperaturen i vannet som en funksjon av tiden. Den deriverte av y mhp. tiden t, y(t)´er et uttrykk for den momentane temperaturendringen i vannet. Den må være negativ fordi vannet har temperaturen 55 grader som er 35 grader varmere enn omgivelsene. Vi får følgende differensiallikning:

$y´(t) = k(y(T) - 20)$

Tusen takk, denne stod jeg heilt fast på. og denne. på forhånd tusen takk
Videre i oppgaven står det vi antar at temp endringen pr time er proporsjonal med differansen mellom vanntemp y(t) og romtemp. Vi kan skrive differensialligningen som dy/dt = 0,3(20-y(t))
Forklar kort at y (0) er 55. Løs differensial ligningen og vis at y(t) = 35e^-0,3t+ 20

Solvei skrev:Tusen takk, denne stod jeg heilt fast på. og denne. på forhånd tusen takk
Videre i oppgaven står det vi antar at temp endringen pr time er proporsjonal med differansen mellom vanntemp y(t) og romtemp. Vi kan skrive differensialligningen som dy/dt = 0,3(20-y(t))
Forklar kort at y (0) er 55. Løs differensial ligningen og vis at y(t) = 35e^-0,3t+ 20

start: y(0) = 55

[tex]\int \frac{dy}{20-y}=0,3\int dt\\ \\ -\ln|20-y|=0,3t+c\\ \ln|20-y|=-0,3t+c\\ \\20-y=c\cdot e^{-0,3t}\\ \\y=c\cdot e^{-0,3t}+20\\ \\y(0)=55, c=35\\ \\y(t)=35\cdot e^{-0,3t}+20\\[/tex]