Induksjonsbevis

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Induksjonsbevis

Innlegg Lui22 » 04/06-2020 11:28

Hei
Jeg prøver å forstå meg på induksjonsbevis, og trodde jeg hadde forstått. Helt til denne oppgaven. Håper noen kan se hva jeg gjør galt:

Vis ved induksjon: 1+2+3+..+(n-1)+n+(n-1)+..+3+2+1=n^2
Steg 1:
S1: VS=1 HS=1^2=1
Steg 2:
Sk: 1+2+3+..+(k-1)+k+(k-1)+3+2+1=k^2 <-- Antar at den er riktig.
Sk+1:1+2+3+..+(k-1)+k+(k-1)+3+2+1+((k+1)-1)+(k+1)+((k-1)+1)=(k+1)^2
Setter så 1+2+3+..+(k-1)+k+(k-1)+3+2+1 som k^2, får da:
k^2+k+(k+1)+k=(k+1)^2

Hva har jeg gjort gale? Ser at jeg har en "for mye" k verdi på VS, men vet ikke hvordan jeg kan gjøre dette annerledes.
Setter pris på all hjelp !:)
Lui22 offline

Re: Induksjonsbevis

Innlegg Aleks855 » 04/06-2020 11:50

I induksjonssteget ønsker vi å vise at $$1+2+3+4+\ldots +(k-1) + k + (k+1) + k + (k-1) + \ldots + 4+3+2+1 = (k+1)^2$$

Venstre side her er ekvivalent med VS fra antakelsen, men med en ekstra $+(k+1)+k$.

Så VS blir $k^2 + (k+1)+k$.

Ser du avslutningen?
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6291
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Induksjonsbevis

Innlegg josi » 04/06-2020 12:25

Sk+1:1+2+3+..+(k-1)+k+(k-1)+3+2+1+((k+1)-1)+(k+1)+((k-1)+1)=(k+1)^2 det er tillegget her ((k+1)-1)+(k+1)+((k-1)+1) som ikke blir riktig.

$S_k = 1 + 2 + 3 + \cdot\cdot\,+(k-1) + k + k-1 +\cdot\cdot\, + 1 = k^2$
$S_{k+1} = 1 + 2 + \cdot\cdot\, +\, k + k +1 + k + k-1 + \cdot\cdot\, +1$
$S_{k+1} - S_k = k + k +1 = 2k + 1$
$S_{k+1} = k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2$
josi offline

Re: Induksjonsbevis

Innlegg Lui22 » 04/06-2020 12:57

Aleks855 skrev:I induksjonssteget ønsker vi å vise at $$1+2+3+4+\ldots +(k-1) + k + (k+1) + k + (k-1) + \ldots + 4+3+2+1 = (k+1)^2$$

Venstre side her er ekvivalent med VS fra antakelsen, men med en ekstra $+(k+1)+k$.

Så VS blir $k^2 + (k+1)+k$.

Ser du avslutningen?


Jeg ser at det er det som skal være avslutningen. Skal man ikke sette inn k+1 for hver k verdi? For du får kun (k+1)+k på din venstre side. Hvordan ender du opp der?
Lui22 offline

Re: Induksjonsbevis

Innlegg Aleks855 » 04/06-2020 13:05

Mønsteret er at vi teller opp til $k$ i antakelsesstedet, og deretter teller ned igjen. En slags pyramide med $k$ på toppen. Merk at det høyeste tallet, $k$, kun dukker opp én gang.

I induksjonssteget teller vi opp til $k+1$ og deretter teller vi ned igjen. En pyramide med $k+1$ på toppen. Her vil $k$ dukke opp to ganger, så vi får en ekstra $k$ sammenliknet med steget over. I tillegg har vi naturligvis også $k+1$ som ikke dukker opp i pyramiden over. Så det er samme mengde tall, men med en ekstra $k, \ k+1$.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6291
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Induksjonsbevis

Innlegg Lui22 » 04/06-2020 14:30

Aleks855 skrev:Mønsteret er at vi teller opp til $k$ i antakelsesstedet, og deretter teller ned igjen. En slags pyramide med $k$ på toppen. Merk at det høyeste tallet, $k$, kun dukker opp én gang.

I induksjonssteget teller vi opp til $k+1$ og deretter teller vi ned igjen. En pyramide med $k+1$ på toppen. Her vil $k$ dukke opp to ganger, så vi får en ekstra $k$ sammenliknet med steget over. I tillegg har vi naturligvis også $k+1$ som ikke dukker opp i pyramiden over. Så det er samme mengde tall, men med en ekstra $k, \ k+1$.



Aha. Nå forstod jeg. Jeg tenkte ikke på det på den måten. Tusen takk for god forklaring :)!
Lui22 offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 33 gjester