matematikk.net

Går lektorutdanning i retning matematikk/naturfag, og har nylig avlagt en eksamen i matematikk.
Det er imidlertid én oppgave jeg ikke får til å gå opp, og det er en oppgave i kombinatorikk.

Gitt oppgaven:

Hannah og Markus leker seg med å snu om på bokstavene i navnene sine.

a) Hvor mange måter kan vi stokke om på bokstavene i HANNAH og få ulike kombinasjoner?

b) Markus sitt navn har 8 ganger flere kombinasjoner enn Hannah sitt til tross for at begge har 6 bokstaver i navnene sine. Forklar hvorfor.

Det jeg imidlertid har reagert på, det er at Markus sitt navn må ha 6, og ikke 8, ganger flere kombinasjoner enn Hannah. (Eller i utgangspunktet har begge navnene like mange kombinasjoner, det er jo fysisk 6 bokstaver i hvert av navnene ...).

Hva tenker dere der ute?



Hva ville dere forresten fått i svar på denne oppgaven:

I en klasse skal de sitte tre og tre. Louise har 2 venner i klassen.
Det er 18 elever totalt i klassen (inkl. Louise).
Hva er sannsynligheten for at ...

1) Louise får sitte med begge vennene sine?
2) Louise får sitte med minst én av vennene sine?

3) Hvis de skulle sitte to og to, hva hadde sannsynligheten vært for at Louise får sitte med en av vennene sine?

Eller i utgangspunktet har begge navnene like mange kombinasjoner, det er jo fysisk 6 bokstaver i hvert av navnene ...).

Hvor mange kombinasjoner av Hannah sitt navn fører til det opprinnelige navnet, ved å stokke om på bokstavene?

ABA skrev:Hannah og Markus leker seg med å snu om på bokstavene i navnene sine.

a) Hvor mange måter kan vi stokke om på bokstavene i HANNAH og få ulike kombinasjoner?

b) Markus sitt navn har 8 ganger flere kombinasjoner enn Hannah sitt til tross for at begge har 6 bokstaver i navnene sine. Forklar hvorfor.

Det jeg imidlertid har reagert på, det er at Markus sitt navn må ha 6, og ikke 8, ganger flere kombinasjoner enn Hannah. (Eller i utgangspunktet har begge navnene like mange kombinasjoner, det er jo fysisk 6 bokstaver i hvert av navnene ...).

Hva tenker dere der ute?

Hei, generelt så kan vi stokke om $6$ elementer i $6!$ ulike rekkefølger. Men i HANNAH så er det to H-er, og to A-er, og to N-er, og dette må vi ta hensyn til når vi regner mulighetene. Om du stokker om på disse så blir det ingen forskjell. Derfor må vi dele det opprinnelige uttrykket, $6!$, på $2$ for hver av disse bokstavene, for at vi skal få det korrekte antallet forskjellige "navn".

Dermed blir svaret på a) til $\frac{6!}{2\cdot 2\cdot 2} = \frac{6!}{8}$. Og dermed kan vi se at siden Markus har 8 ganger flere muligheter, vil det inntreffe siden alle bokstavene i navnet hans er forskjellige. Så da er det $6!$ mulige stokkinger av bokstavene.