Side 1 av 1

Lage en rekke ut fra et praktisk problem.

InnleggSkrevet: 19/05-2020 09:27
mattemette
Hei.

Oppgaven er gitt ved

Hver kveld slipper en fabrikk ut et forurensende avfallstoff ut i et vassdrag. I løpet av en kveld forsvinner 2/5 av stoffet fra vassdraget. Dersom myndighetene regner med at en akseptabel mengde avfall i vassdraget er 20kg, hvor mye kan fabrikken slippe ut hver kveld uten at grensen overskrides?


Har vært inne på tanken om at dette er en er en geometrisk rekke som har et konstant ledd som slippes ut hver kveld, og at summen av rekken må være >20?
Blir dette helt feil. Hvordan burde man gjøre dette?

Takk på forhånd.

Re: Lage en rekke ut fra et praktisk problem.

InnleggSkrevet: 19/05-2020 12:04
Mattegjest
Du tenkjer heilt rett , på eitt unntak nær: Summen av den geometriske rekkja må vere [tex]\leqslant[/tex] 20.


[tex]\frac{2}{5}[/tex] av det daglege utsleppet blir borte i løpet av kvelden; altså blir [tex]\frac{3}{5}[/tex] verande i vassdraget. Restmengde etter to døgn: ( [tex]\frac{3}{5}[/tex] )[tex]^{2}[/tex], o.s.v.


Summen av dei daglege utsleppa dannar dermed ei geom. rekkje med kvotient

k = [tex]\frac{3}{5}[/tex]

Summen S = lim( n[tex]\rightarrow[/tex][tex]\infty[/tex] ) S[tex]_{n}[/tex] = [tex]\frac{a_{1}}{1 - k}[/tex]

Da endar vi opp med ei likning der det daglege utsleppet ( a[tex]_{1}[/tex] ) er einaste ukjend.

Re: Lage en rekke ut fra et praktisk problem.

InnleggSkrevet: 19/05-2020 12:05
Mattegjest
Du tenkjer heilt rett , på eitt unntak nær: Summen av den geometriske rekkja må vere [tex]\leqslant[/tex] 20.


[tex]\frac{2}{5}[/tex] av det daglege utsleppet blir borte i løpet av kvelden; altså blir [tex]\frac{3}{5}[/tex] verande i vassdraget. Restmengde etter to døgn: ( [tex]\frac{3}{5}[/tex] )[tex]^{2}[/tex], o.s.v.


Summen av dei daglege utsleppa dannar dermed ei geom. rekkje med kvotient

k = [tex]\frac{3}{5}[/tex]

Summen S = lim( n[tex]\rightarrow[/tex][tex]\infty[/tex] ) S[tex]_{n}[/tex] = [tex]\frac{a_{1}}{1 - k}[/tex]

Da endar vi opp med ei likning der det daglege utsleppet ( a[tex]_{1}[/tex] ) er einaste ukjend.

Re: Lage en rekke ut fra et praktisk problem.

InnleggSkrevet: 19/05-2020 12:16
Kristian Saug
Hei,

Jeg regner med at det i oppgaveteksten skal stå "I løpet av et døgn forsvinner...." , og ikke "I løpet av en kveld forsvinner......"

Svar: [tex]8[/tex] kg

Re: Lage en rekke ut fra et praktisk problem.

InnleggSkrevet: 19/05-2020 12:53
Kristian Saug
Se vedlegg for visualisering.

Re: Lage en rekke ut fra et praktisk problem.

InnleggSkrevet: 20/05-2020 00:46
Gustav
Alternativ løsning med rekurrensrelasjon:

La $x_n$ være mengden av avfallstoff i elva etter $n$ dager. Da er $x_{n+1}=\frac35 x_n+k$, der $k$ er en konstant mengde avfall som tømmes i elva hver dag, med initialbetingelsen $x_0=k$. Rekurrensrelasjonen har løsning $x_n=\frac12 k (5-3 (\frac{3}{5})^n)$. Vi krever at $\frac52 k=\lim_{n\to \infty}x_n \le 20$, altså må $k\le \frac{40}{5}=8$.

Re: Lage en rekke ut fra et praktisk problem.

InnleggSkrevet: 21/05-2020 08:50
mattemette
Fikk nå løst oppgaven, ja jeg mente hver dag i plassen for kveld, gikk litt fort i svingene. Tusen takk for hjelpen!