grenseverdi

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gjest

hva har større prioritet

enn eksponentialfunksjon [tex]e^x[/tex] eller en eksponentiell vekst i form av et grunntall [tex]k^x[/tex] ?

jeg vet at eksponentiell vekst er større enn polynomiell vekst osv.

men betyr det at [tex]2^{x} > x^{100000000000000000000000}[/tex]
når man nærmer seg uendelig?
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Jepp!
Bilde
Gjest

TS, her

er det slik at [tex]e^x > x^10[/tex]
? mtp. dominerende ledd
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Ja, eksponentialuttrykk med grunntall større enn 1 (eller mindre enn -1), vokser raskere enn polynomuttrykk.

Du kan tenke på dette fra et derivasjonsperspektiv. Hvis du deriverer et polynom, så synker graden.

Hvis du deriverer et eksponentialuttrykk, så bevares graden.
Bilde
Gjest

Aleks855 skrev:Ja, eksponentialuttrykk med grunntall større enn 1 (eller mindre enn -1), vokser raskere enn polynomuttrykk.

Du kan tenke på dette fra et derivasjonsperspektiv. Hvis du deriverer et polynom, så synker graden.

Hvis du deriverer et eksponentialuttrykk, så bevares graden.
lurt triks men

[tex]e^x > a^x \forall a[/tex]
eller blir dette feil siden [tex]e = 2.718[/tex] ?
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

$e$ er ikke et spesielt tall i denne sammenhengen. $6^x$ vil være mer dominerende enn $e^x$, for eksempel, fordi $6 > e$.
Bilde
Gjest

Aleks855 skrev:$e$ er ikke et spesielt tall i denne sammenhengen. $6^x$ vil være mer dominerende enn $e^x$, for eksempel, fordi $6 > e$.
så generelt har vi at [tex]a^x > x^k \forall a, k > 1[/tex]

men hva med [tex]log(x)[/tex] er denne mer dominerende enn begge to?
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Tegn funksjonene $2^x$, $x^2$ og $\log(x)$ i samme koordinatsystem. Hvilken funksjon ser mer dominerende ut når $x$ blir stor? Og hvilken er helt klart ikke dominerende i det hele tatt?
Bilde
Gjest

Aleks855 skrev:Tegn funksjonene $2^x$, $x^2$ og $\log(x)$ i samme koordinatsystem. Hvilken funksjon ser mer dominerende ut når $x$ blir stor? Og hvilken er helt klart ikke dominerende i det hele tatt?
[tex]2^x[/tex] er mest, så kommer [tex]log(x)[/tex] og til slutt [tex]x^2[/tex] ?
Gjest

Gjest skrev:
Aleks855 skrev:Tegn funksjonene $2^x$, $x^2$ og $\log(x)$ i samme koordinatsystem. Hvilken funksjon ser mer dominerende ut når $x$ blir stor? Og hvilken er helt klart ikke dominerende i det hele tatt?
[tex]2^x[/tex] er mest, så kommer [tex]log(x)[/tex] og til slutt [tex]x^2[/tex] ?
mente til slutt [tex]log(x)[/tex] men det jeg spør om er hvis man har

[tex]3^x, x^10000000, \left ( log(x) \right )^{100000000}[/tex]

vil fremdeles [tex]3^x[/tex] være dominerende her?
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Ja, $3^x$ er dominerende her.
Bilde
Gjest

Aleks855 skrev:Ja, $3^x$ er dominerende her.
ah, ok
det er ikke helt intuitivt for meg da jeg av en eller annen grunn tenker at uendelig multiplisert med uendelig er større enn f.eks 3 ^ uendelig = 3*3*3..3^n
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Det er ikke rart. Matematikken blir sær når prøver å behandle $\infty$ som et tall på den måten.

Det tryggeste er nok, som jeg nevnte såvidt tidligere, å se på at selv om $x^{1000000}$ har et sterkere utgangspunkt for lavere verdier av $x$, så vil $2^x$ bli brattere raskere. Dette er noe vi kan se ved å betrakte hvordan funksjonene oppfører seg under derivasjon.

Etter $1000000$ derivasjoner, så vil $x^{1000000}$ gi en konstant funksjon, mens $2^x$ vil fremdeles være $2^x$, multiplisert med et eller annet tall. Og siden de gjentatte deriverte av en funksjon forteller oss hvordan funksjonen oppfører seg når det gjelder stigning, så er det naturlig å konkludere at $2^x > x^{1000000}$ når $x\to\infty$.
Bilde
Gjest

Aleks855 skrev:Det er ikke rart. Matematikken blir sær når prøver å behandle $\infty$ som et tall på den måten.

Det tryggeste er nok, som jeg nevnte såvidt tidligere, å se på at selv om $x^{1000000}$ har et sterkere utgangspunkt for lavere verdier av $x$, så vil $2^x$ bli brattere raskere. Dette er noe vi kan se ved å betrakte hvordan funksjonene oppfører seg under derivasjon.

Etter $1000000$ derivasjoner, så vil $x^{1000000}$ gi en konstant funksjon, mens $2^x$ vil fremdeles være $2^x$, multiplisert med et eller annet tall. Og siden de gjentatte deriverte av en funksjon forteller oss hvordan funksjonen oppfører seg når det gjelder stigning, så er det naturlig å konkludere at $2^x > x^{1000000}$ når $x\to\infty$.
Takk, ble mye klarere nå
Svar