Normen til et polynom

[sofie12211]

Om vi lar Pn være vektorrommet av polynomer av grad mindre enn eller lik n og definerer et indreproduktt på
Pn ved <P(t)Q(t)> = integralet fra 0 til 1 av P(t)Q(t)dt for to polynomer P(t) og Q(t).
Normen til et polynom er gitt ved //P(t)// = <P(t),P(t)>^1/2

Oppgaven:
Vis at normen til polynomet P(t) = t^m er //t^m// = 1/kvadratroten av 2m+1

kan noen hjelpe her?

[Nebuchadnezzar]

Gjerne bruk dollartegn for å vise matematikk

Kode: Velg alt

$
\|P\| := \langle P(t), P(t) \rangle^{1/2} 
       = \sqrt{ \int_0^1 P(t)^2\mathrm{d}t }
$

$
\|P\| := \langle P(t), P(t) \rangle^{1/2}
= \sqrt{ \int_0^1 P(t)^2\mathrm{d}t }
$

Hva får du når du bytter ut $P(t)$ med $t^m$ i det siste integralet og regner ut?

[sofie1242]

Tusentakk da fikk jeg det til.
Hvordan skal jeg videre gå fram om jeg vil finne ortogonalprojeksjonen av t^13 langs t^4?

[Nebuchadnezzar]

Anbefaler deg å lese deg opp på hva en projeksjon er, formelen blir vel

$\text{Proj}_Q(P) = \frac{\langle P, Q\rangle}{\langle P, P\rangle} \cdot Q$

http://www.maths.usyd.edu.au/u/MOW/vect ... -10-2.html

[sofie1231]

okei, men hvordan kan jeg vise at
⟨1,1−2t⟩ = 0?

[sofie123421]

og finne et 2.grads polynom som står normalt på 1 og 1-2t?

[ansef__111]

er det ingen som kan hjelpe her?

[Emilga]

For å vise at $\langle 1, 1-2t\rangle =0$ bruker vi definisjonen av indreproduktet som er gitt i oppgaven:
$$ \langle 1, 1-2t \rangle = \int_0^1 1 \cdot (1-2t) dt = \ldots $$
Når vi regner ut dette integralet, ser vi at sluttsvaret blir null. Altså står polynomene $1$ og $1-2t$ normalt på hverandre.


For å finne et andregradspolynom som står normalt på $1$ og $1-2t$, må vi finne koeffisientene $a$, $b$, $c$ til polynomet $p(t) = at^2 + bt + c$, slik at:

$\langle p(t), 1 \rangle = 0$, og

$\langle p(t), 1-2t \rangle = 0$.

Når vi regner ut disse to indreproduktene får vi et system av to likninger med tre ukjente ($a$, $b$, $c$), altså et underdeterminert system. Det finnes da uendelig mange løsninger, og det er nok å finne tallverdiene $a$, $b$, $c$ til ett av dem.