difflikning

[Gjest]

Hei, gitt at
[tex]\frac{dN}{dt}=N-N^2[/tex] med [tex]N(0)=0.5[/tex] spytter ut løsningen [tex]N(t)=\frac{e^t}{1+e^t}[/tex]

jeg skal bestemme [tex]\lim_{t\rightarrow \infty }N(t)=1[/tex]

men deretter spør oppaven om jeg kan finne denne grenseverdien bare ved å se på differensiallikningen, hvordan kan dette la seg gjøre?

[Nebuchadnezzar]

Likningen din beskriver Logistisk vekst - Verhulstkurven. Vekst av en organisme eller antall organismer i en populasjon som begrenses jevnt mot en maksimal størrelse. I motsetning til eksponensiell vekst som ikke flater av.

$\displaystyle {\mathrm{d}N \over \mathrm{d}t} = rN \left( K-N \over K \right)=rN \left(1 – {N \over K} \right)$

$N$ er tilstandsvariabel antall individer, $\mathrm{d}N/\mathrm{d}t$ er endring i individantall over tid, $r$ er maksimum vekstrate 1/tid ,og $K$ er en konstant for bærekapasitet, det maksimale individantallet med samme måleenhet som $N$.

For eksempel med $r=0.04$ (4%) og bærekapasitet $K=100$, f.eks. $100$ individer per kvadratkilometer får vi følgende Logistisk vekstkurve



Løsningen av denne differensiallikningen er, som du har vist

$\displaystyle {N \left( t \right) }= {K \over { 1 + C {e^{rt}}}}$

Ved en liten omskrivning ser vi at

$
N(t) = \frac{e^t}{1 + e^t} = \frac{1}{1 + e^{-t}}
$

Slik at $C=1$, $r = -1$ og $K=1$. Etter uendelig lang tid vil populasjonen stabilsere seg på bærekapasiteten, og fra din opprinnelige likning, og fra svaret, ser vi at $K = 1$. Altså er

$\lim_{t \to \infty} N(t) = K = 1$

Helt uten utregning.

[Gjest]

Likningen din beskriver Logistisk vekst - Verhulstkurven. Vekst av en organisme eller antall organismer i en populasjon som begrenses jevnt mot en maksimal størrelse. I motsetning til eksponensiell vekst som ikke flater av.

$\displaystyle {\mathrm{d}N \over \mathrm{d}t} = rN \left( K-N \over K \right)=rN \left(1 – {N \over K} \right)$

$N$ er tilstandsvariabel antall individer, $\mathrm{d}N/\mathrm{d}t$ er endring i individantall over tid, $r$ er maksimum vekstrate 1/tid ,og $K$ er en konstant for bærekapasitet, det maksimale individantallet med samme måleenhet som $N$.

For eksempel med $r=0.04$ (4%) og bærekapasitet $K=100$, f.eks. $100$ individer per kvadratkilometer får vi følgende Logistisk vekstkurve



Løsningen av denne differensiallikningen er, som du har vist

$\displaystyle {N \left( t \right) }= {K \over { 1 + C {e^{rt}}}}$

Ved en liten omskrivning ser vi at

$
N(t) = \frac{e^t}{1 + e^t} = \frac{1}{1 + e^{-t}}
$

Slik at $C=1$, $r = -1$ og $K=1$. Etter uendelig lang tid vil populasjonen stabilsere seg på bærekapasiteten, og fra din opprinnelige likning, og fra svaret, ser vi at $K = 1$. Altså er

$\lim_{t \to \infty} N(t) = K = 1$

Helt uten utregning.

Takk for svar

sånn så jeg forstår det (arrester meg hvis jeg tar feil) så er trikset å gjenkjenne at [tex]\frac{dN}{dt}=N-N^2[/tex] beskriver logistisk vekst, uten å røre likninga,
og dermed huske at en generell model for logistisk vekst er gitt ved [tex]\boxed{\frac{B}{1+a*e^{-bx}}}[/tex]
, men vil ikke dette implisere at man må sjekke løsninga som difflikninger spytter ut [tex]\frac{e^t}{1+e^t}[/tex]
og deretter omforme til [tex]\frac{1}{1+e^{-t}}[/tex]
og dermed gjenkjenne at [tex]\frac{B}{1+a*e^{-bx}} = \frac{1}{1+e^{-t}}[/tex],
hvor [tex]B[/tex] (bærekapsiteten) faller ut til [tex]1[/tex] .

men dette innebærer jo naturligvis å se på løsningen som likninga spytter ut, kan man finne bnrekapasiteten ved å kun se på
[tex]\frac{dN}{dt}=N-N^2[/tex] ?

[Nebuchadnezzar]

Det stemmer, som jeg skrev kan du både se det fra svaret ditt ved en liten omskrivning eller direkte fra den opprinnelige likningen

$
\displaystyle {\mathrm{d}N \over \mathrm{d}t} = \color{red}{r} N \left(1 – {N \over \color{green}{K}} \right)
$

VS

$
\displaystyle {\mathrm{d}N \over \mathrm{d}t} =N - N^2 = \color{red}{1} \cdot N \left( 1 - \frac{N}{\color{green}{1}}\right)
$

[Gjest]

Det stemmer, som jeg skrev kan du både se det fra svaret ditt ved en liten omskrivning eller direkte fra den opprinnelige likningen

$
\displaystyle {\mathrm{d}N \over \mathrm{d}t} = \color{red}{r} N \left(1 – {N \over \color{green}{K}} \right)
$

VS

$
\displaystyle {\mathrm{d}N \over \mathrm{d}t} =N - N^2 = \color{red}{1} \cdot N \left( 1 - \frac{N}{\color{green}{1}}\right)
$

aha, der var den fiffige overgangen, takk

[Emilga]

Vi kan også se på diff.likningens likevektspunkter, dvs. de verdiene for $N(t)$ som tilfredsstiller $dN/dt = 0$:

$$ \frac{dN}{dt} = N-N^2 = N(1-N) = 0 \Leftrightarrow N = 0 \lor N = 1$$

Vi ser at dersom $N(t=0) = 0.5 \in (0, 1)$, så har vi: $dN/dt > 0$ for alle $N(t) \in (0, 1)$. Altså vil løsningskurven vår $N(t)$ vokse monotont når vi har startverdien $N(t=0) = 0.5$.

Helt til den "når" verdien $N(t \to \infty) = 1$, som den da blir "sittende fast på", siden $dN/dt = 0$ når $N=1$.

(Dersom vi hadde startet med $N(t=0) >1$ ville vi fått $dN/dt < 0$, og $N(t)$ ville vært synkende mot $N(t \to \infty) = 1$.)

[Maggie]

Jeg liker Emilgas svar godt. Da trenger du ikke å huske noe som helst og metoden holder for andre typer differensialligninger!

Forøvrig er jo logistisk vekst veldig relevant nå, fordi det kan brukes til å beskrive utbredelsen av en pandemi.