Contour-integral
Lagt inn: 14/04-2020 18:21
Hei folkens.
Riemanns zetafunksjon $\zeta (s)$ er definert i området $\Re(s)>-1$ ved funksjonen
$\zeta(s)=\frac{2^{s-1}}{(1-2^{1-s})\cdot \Gamma (s+1)}\cdot \int_{0}^{\infty}\frac{t^s}{\cosh^{2} t} dt$. Første faktor er åpenbart aldri null, så den eneste måten funksjonsverdien kan bli null på, er dersom integralet er null, rett og slett fordi
$ab=0 \Longleftrightarrow a=0 \vee b=0$.
Dersom det viser seg at vi kan omskrive dette slik at det kan uttrykkes som et Contour-integral med utgangspunkt i en Jordan-kurve bør det vel gå an å bruke Cauchys teorem til å vise at integralet kun er lik 0 dersom $\Re(s)=\frac{1}{2}$?
Jeg er imidlertid vg1-elev og har ikke mye erfaring med dette, så dersom noen kunne hjulpet til her ville det vært flott! Jeg har et stort håp om at vi skal klare å bevise eller motbevise hypotesen i løpet av tiåret som kommer, så jeg kan dele alt jeg finner dersom dette er ønskelig.
Tusen takk.
Riemanns zetafunksjon $\zeta (s)$ er definert i området $\Re(s)>-1$ ved funksjonen
$\zeta(s)=\frac{2^{s-1}}{(1-2^{1-s})\cdot \Gamma (s+1)}\cdot \int_{0}^{\infty}\frac{t^s}{\cosh^{2} t} dt$. Første faktor er åpenbart aldri null, så den eneste måten funksjonsverdien kan bli null på, er dersom integralet er null, rett og slett fordi
$ab=0 \Longleftrightarrow a=0 \vee b=0$.
Dersom det viser seg at vi kan omskrive dette slik at det kan uttrykkes som et Contour-integral med utgangspunkt i en Jordan-kurve bør det vel gå an å bruke Cauchys teorem til å vise at integralet kun er lik 0 dersom $\Re(s)=\frac{1}{2}$?
Jeg er imidlertid vg1-elev og har ikke mye erfaring med dette, så dersom noen kunne hjulpet til her ville det vært flott! Jeg har et stort håp om at vi skal klare å bevise eller motbevise hypotesen i løpet av tiåret som kommer, så jeg kan dele alt jeg finner dersom dette er ønskelig.
Tusen takk.