Hei folkens.
Riemanns zetafunksjon $\zeta (s)$ er definert i området $\Re(s)>-1$ ved funksjonen
$\zeta(s)=\frac{2^{s-1}}{(1-2^{1-s})\cdot \Gamma (s+1)}\cdot \int_{0}^{\infty}\frac{t^s}{\cosh^{2} t} dt$. Første faktor er åpenbart aldri null, så den eneste måten funksjonsverdien kan bli null på, er dersom integralet er null, rett og slett fordi
$ab=0 \Longleftrightarrow a=0 \vee b=0$.
Dersom det viser seg at vi kan omskrive dette slik at det kan uttrykkes som et Contour-integral med utgangspunkt i en Jordan-kurve bør det vel gå an å bruke Cauchys teorem til å vise at integralet kun er lik 0 dersom $\Re(s)=\frac{1}{2}$?
Jeg er imidlertid vg1-elev og har ikke mye erfaring med dette, så dersom noen kunne hjulpet til her ville det vært flott! Jeg har et stort håp om at vi skal klare å bevise eller motbevise hypotesen i løpet av tiåret som kommer, så jeg kan dele alt jeg finner dersom dette er ønskelig.
Tusen takk.
Contour-integral
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Maggie
Hei!
Jeg tror ikke jeg forstår spørsmålet helt. Hvordan tenker du å definere denne Jordan-kurven? Jeg forstår ikke helt hvordan du skal bruke Cauchys teorem etter at du har definert denne kurven.
Jeg tror ikke jeg forstår spørsmålet helt. Hvordan tenker du å definere denne Jordan-kurven? Jeg forstår ikke helt hvordan du skal bruke Cauchys teorem etter at du har definert denne kurven.
Hei Maggie!
Beklager kronglete formulering, men jeg er som nevnt ikke helt stødig på dette emnet ennå. Jeg er litt usikker på om det lar seg gjøre, men tenkte det kanskje gikk an å definere en lukket kurve slik at Cauchys teorem kan benyttes. Idéen var å lage denne kurven som et rektangel ABCD, hvor $A=0, B=\frac{1}{2}, C=\frac{1}{2}+\Im(s)\cdot i, D=\Im(s)\cdot i$.
Variabelen $s$ er altså med på å definere kurven. Når vi lar $\Im(s)\rightarrow±\infty$ bør det vel strengt tatt ikke være så vanskelig å vise at
$\zeta(s)=0 \Longrightarrow \Re(s)=\frac{1}{2}$. Vi trenger vel dessuten kun å vise at dette gjelder for intervallet
$[0,\frac{1}{2}]$ ettersom alle nullpunkter er symmetriske om punktet
$s=\frac{1}{2}$?
Poenget er bare at dette kunne vært en mulig teknikk å bruke for å bevise RH, men pga. mangel på formell utdanning er jeg ikke 100% sikker på hvordan Contour-integraler fungerer enda. Det er egentlig mer et forslag jeg hiver ut i luften av ren nysgjerrighet kan du si.
Beklager kronglete formulering, men jeg er som nevnt ikke helt stødig på dette emnet ennå. Jeg er litt usikker på om det lar seg gjøre, men tenkte det kanskje gikk an å definere en lukket kurve slik at Cauchys teorem kan benyttes. Idéen var å lage denne kurven som et rektangel ABCD, hvor $A=0, B=\frac{1}{2}, C=\frac{1}{2}+\Im(s)\cdot i, D=\Im(s)\cdot i$.
Variabelen $s$ er altså med på å definere kurven. Når vi lar $\Im(s)\rightarrow±\infty$ bør det vel strengt tatt ikke være så vanskelig å vise at
$\zeta(s)=0 \Longrightarrow \Re(s)=\frac{1}{2}$. Vi trenger vel dessuten kun å vise at dette gjelder for intervallet
$[0,\frac{1}{2}]$ ettersom alle nullpunkter er symmetriske om punktet
$s=\frac{1}{2}$?
Poenget er bare at dette kunne vært en mulig teknikk å bruke for å bevise RH, men pga. mangel på formell utdanning er jeg ikke 100% sikker på hvordan Contour-integraler fungerer enda. Det er egentlig mer et forslag jeg hiver ut i luften av ren nysgjerrighet kan du si.
-
Maggie
Kan det være at du blander litt mellom $s$ og $t$? Det virker ikke som den lukkede kurven din dekker hele den positive reelle aksen. Integralet gjøres med hensyn på $t$ som går fra $0$ til uendelig. Jeg forstår ikke helt hvilken funksjon du har brukt for å definere kurven, kanskje den har et kjent navn jeg ikke er klar over. Hvordan ser den ut?
Selv når kurven er definert må vi kunne løse integralet, slik det er definert nå er det ikke bare-bare. Hvertfall ikke for meg.
Selv når kurven er definert må vi kunne løse integralet, slik det er definert nå er det ikke bare-bare. Hvertfall ikke for meg.
Nei altså jeg ser at dette ble forvirrende. Vi er ikke nødvendigvis avhengig av å ta utgangspunkt i det funksjonsuttrykket jeg skrev til å begynne med – det var bare et forslag. Idéen var i korte trekk å prøve å lage en kurve som beskriver området $\Re(s)\in [0,\frac{1}{2}]$. Denne kurven skal altså være ekvivalent med zetafunksjonen i dette området. Jeg tenkte videre at vi kunne bruke Cauchys teorem dersom dette lot seg gjøre, men jeg begynner å mistenke at jeg kan for lite om dette tema til at diskusjonen blir produktiv. Jeg ønsker ikke å kaste bort tiden din, så hvis du ønsker det kan jeg lese meg mer opp på dette og poste et nytt, mer presist spørsmål på et senere tidspunkt?