Statistikk derivasjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Statsmaster

Synes det er litt knotete med variabler og slikt, har noen her inne en måte å derivere denne på?

[tex]f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2}[/tex]

jeg har benyttet chain rule og ender opp med noe ala [tex]\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\left ( e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2}*2\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right ) \right )[/tex]

medfører dette riktighet?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Nesten rett, men du har vel glemt av faktoren $-\frac{1}{2}$ fra eksponenten og $\frac{1}{\sigma}$ fra derivasjon av kjernen i eksponenten.
statsmaster

Gustav skrev:Nesten rett, men du har vel glemt av faktoren $-\frac{1}{2}$ fra eksponenten og $\frac{1}{\sigma}$ fra derivasjon av kjernen i eksponenten.

La [tex]u=\frac{x-\mu}{\sigma}[/tex]

[tex]\left ( f(u) \right )'=\left (\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}u^2} \right )'= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\left ( e^{-\frac{1}{2}u^2} \right )'= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \left ( f'(u)*u'(x) \right )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\left ( e^{-\frac{1}{2}u^2}*-\frac{1}{2}*2*u \right )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\left ( -\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2} \right )[/tex]


Stemmer dette?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

statsmaster skrev:
Gustav skrev:Nesten rett, men du har vel glemt av faktoren $-\frac{1}{2}$ fra eksponenten og $\frac{1}{\sigma}$ fra derivasjon av kjernen i eksponenten.

La [tex]u=\frac{x-\mu}{\sigma}[/tex]

[tex]\left ( f(u) \right )'=\left (\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}u^2} \right )'= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\left ( e^{-\frac{1}{2}u^2} \right )'= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \left ( f'(u)*u'(x) \right )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\left ( e^{-\frac{1}{2}u^2}*-\frac{1}{2}*2*u \right )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\left ( -\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2} \right )[/tex]


Stemmer dette?
Ser ut som du her har definert $f(u)=e^{-\frac12u^2}$.

Når du foretar steget $ \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \left ( f'(u)*u'(x) \right )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\left ( e^{-\frac{1}{2}u^2}*-\frac{1}{2}*2*u \right )$, så har du vel glemt å ta med $u'(x)$?

Edit:

Det riktige er:

[tex]f'(x)=\left (\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}u^2} \right )'= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\left ( e^{-\frac{1}{2}u^2} \right )'= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} f'(u)\cdot u'(x) =\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2}\cdot -\frac{1}{2}\cdot 2\cdot u \cdot u'(x)=\frac{\mu-x}{\sqrt{2\pi} \sigma^3}e^{-\frac12 (\frac{x-\mu}{\sigma})^2}[/tex]
Gjest

Gustav skrev:
statsmaster skrev:
Gustav skrev:Nesten rett, men du har vel glemt av faktoren $-\frac{1}{2}$ fra eksponenten og $\frac{1}{\sigma}$ fra derivasjon av kjernen i eksponenten.

La [tex]u=\frac{x-\mu}{\sigma}[/tex]

[tex]\left ( f(u) \right )'=\left (\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}u^2} \right )'= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\left ( e^{-\frac{1}{2}u^2} \right )'= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \left ( f'(u)*u'(x) \right )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\left ( e^{-\frac{1}{2}u^2}*-\frac{1}{2}*2*u \right )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\left ( -\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2} \right )[/tex]


Stemmer dette?
Ser ut som du her har definert $f(u)=e^{-\frac12u^2}$.

Når du foretar steget $ \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \left ( f'(u)*u'(x) \right )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\left ( e^{-\frac{1}{2}u^2}*-\frac{1}{2}*2*u \right )$, så har du vel glemt å ta med $u'(x)$?

Edit:

Det riktige er:

[tex]f'(x)=\left (\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}u^2} \right )'= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\left ( e^{-\frac{1}{2}u^2} \right )'= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} f'(u)\cdot u'(x) =\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2}\cdot -\frac{1}{2}\cdot 2\cdot u \cdot u'(x)=\frac{\mu-x}{\sqrt{2\pi} \sigma^3}e^{-\frac12 (\frac{x-\mu}{\sigma})^2}[/tex]

Er det riktig tolkning at

[tex]u' \left ( x \right )=\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )' =\frac{1}{\sigma}\left ( x- \mu \right )'=\frac{1}{\sigma}[/tex] ?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Ja
statsmaster

Gustav skrev:Ja
Jeg lurer på om dette blir videre riktig:

anvender chain rule for å finne [tex]f''(x)[/tex]


[tex]f''(x)=\left ( \frac{\mu-x}{\sqrt{2 \pi } \sigma^3}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2} \right )'=\left ( \frac{\mu-x}{\sqrt{2 \pi} \sigma^3} \right )' e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )}+\frac{\mu-x}{\sqrt{2 \pi} \sigma^3}\left ( e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2} \right )'=-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma^3}*e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )} +\frac{\mu-x}{\sqrt{2 \pi} \sigma^3}*2*-\frac{1}{2}*\frac{x-\mu}{\sigma}*\frac{1}{\sigma}*e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2 }=-\frac{e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )}}{\sqrt{2 \pi} \sigma^3} + \frac{(\mu-x)^2}{\sqrt{2 \pi} \sigma^5}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2 }[/tex]

Er dette korrekt?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

statsmaster skrev:
Gustav skrev:Ja
Jeg lurer på om dette blir videre riktig:

anvender chain rule for å finne [tex]f''(x)[/tex]


[tex]f''(x)=\left ( \frac{\mu-x}{\sqrt{2 \pi } \sigma^3}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2} \right )'=\left ( \frac{\mu-x}{\sqrt{2 \pi} \sigma^3} \right )' e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )}+\frac{\mu-x}{\sqrt{2 \pi} \sigma^3}\left ( e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2} \right )'=-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma^3}*e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )} +\frac{\mu-x}{\sqrt{2 \pi} \sigma^3}*2*-\frac{1}{2}*\frac{x-\mu}{\sigma}*\frac{1}{\sigma}*e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2 }=-\frac{e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )}}{\sqrt{2 \pi} \sigma^3} + \frac{(\mu-x)^2}{\sqrt{2 \pi} \sigma^5}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2 }[/tex]

Er dette korrekt?
Hvis du er ute etter en fasit på slike derivasjonsoppgaver kan du bruke wolfram alpha.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f ... derivative
statsmaster

Gustav skrev:
statsmaster skrev:
Gustav skrev:Ja
Jeg lurer på om dette blir videre riktig:

anvender chain rule for å finne [tex]f''(x)[/tex]


[tex]f''(x)=\left ( \frac{\mu-x}{\sqrt{2 \pi } \sigma^3}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2} \right )'=\left ( \frac{\mu-x}{\sqrt{2 \pi} \sigma^3} \right )' e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )}+\frac{\mu-x}{\sqrt{2 \pi} \sigma^3}\left ( e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2} \right )'=-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma^3}*e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )} +\frac{\mu-x}{\sqrt{2 \pi} \sigma^3}*2*-\frac{1}{2}*\frac{x-\mu}{\sigma}*\frac{1}{\sigma}*e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2 }=-\frac{e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )}}{\sqrt{2 \pi} \sigma^3} + \frac{(\mu-x)^2}{\sqrt{2 \pi} \sigma^5}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2 }[/tex]

Er dette korrekt?
Hvis du er ute etter en fasit på slike derivasjonsoppgaver kan du bruke wolfram alpha.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f ... derivative

Takk, men når jeg taster inn f(x)= (1/(σ*sqrt(2*π))*e^(-0.5*((x-μ)/σ)^2) second derivative

ender jeg opp med [tex](e^(-(0.5 (x - 1 μ)^2)/σ^2) (0.398942 x^2 - 0.797885 x μ + 0.398942 μ^2 - 0.398942 σ^2))/σ^5[/tex]

dette er vel stort sprik fra svaret mitt [tex]-\frac{e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )}}{\sqrt{2 \pi} \sigma^3} + \frac{(\mu-x)^2}{\sqrt{2 \pi} \sigma^5}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2 }[/tex] ?
Mattebruker

Problemet kan , slik Gustav antyder , forenklast betydeleg:

Sett u = [tex]\frac{x-\mu }{\sqrt{2}\sigma }[/tex] og k = [tex]\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}[/tex]


Det matematisk uttrykket for normalfordelinga kan da skrivast

f( u ) = k [tex]\cdot[/tex]e[tex]^{-u^{2}}[/tex]

f''( u ) = 2[tex]\cdot[/tex]k e[tex]^{-u^{2}}[/tex][tex]\cdot[/tex](2 u[tex]^{2}[/tex] - 1 )
Gjest

Mattegjest skrev:Problemet kan , slik Gustav antyder , forenklast betydeleg:

Sett u = [tex]\frac{x-\mu }{\sqrt{2}\sigma }[/tex] og k = [tex]\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}[/tex]


Det matematisk uttrykket for normalfordelinga kan da skrivast

f( u ) = k [tex]\cdot[/tex]e[tex]^{-u^{2}}[/tex]

f''( u ) = 2[tex]\cdot[/tex]k e[tex]^{-u^{2}}[/tex][tex]\cdot[/tex](2 u[tex]^{2}[/tex] - 1 )

vet ikke om jeg henger helt med hva skjer med my og sigma uttrykkene?
Mattebruker

Konstanten k = [tex]\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}[/tex] er ein normeringsfaktor og er i og for seg heilt uinteressant
når vi deriverer funksjonsuttrykket.

Parametrane som inngår i eksponenten ( [tex]\mu[/tex] og [tex]\sigma[/tex] ) er " baka inn " i den nye variablen u.

f''( u ) = 2k e[tex]^{-u^{2}}[/tex] ( 2 u[tex]^{2}[/tex] - 1 ) ( jamfør mitt forrige innlegg )

Ut frå dette uttrykket kan vi lett finne koordinatane til vendepunkta:

Funksjonen har eit vendepunkt ( gragen sifter krumming ) når

f''( u ) = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 2 u[tex]^{2}[/tex] - 1 = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] u = [tex]\pm[/tex][tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{x - \mu }{\sigma \sqrt{2}}[/tex] = [tex]\pm[/tex][tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] x = [tex]\mu[/tex] [tex]\pm[/tex] [tex]\sigma[/tex]

Eit interessant resultat:

Vendepunkta på grafen ( Gauss-kurva ) ligg eitt standardavvik(1 [tex]\sigma[/tex]) frå symmetrilinja x = [tex]\mu[/tex]
Svar