matematikk.net

Heisann,
Jeg sliter litt med en oppgave der jeg skal bruke definisjonen av epsilon delta for å vise at dersom g er kontinuerlig i a og g(a) ikke er lik 0, så er 1/g(x) kontinuerlig i a. Under ser du forsøket mitt på dette, og jeg lurer egentlig bare på om det ser greit ut, eller om det inneholder en eller flere logiske brister (noe jeg mistenker sterkt). I så fall hadde det vært flott om du kunne gi meg et vink i riktig retning. På forhånd takk!

Ser ikke helt hvordan du får de første likhetene dine.

Jeg ville startet slik: Velg først en $\delta_1$ slik at $g(x)\neq 0$ for alle $x \in (a-\delta_1,a+\delta_1)$ (En slik $\delta_1$ eksisterer siden $g(x)$ er kontinuerlig i $x=a$; velg f.eks. $\epsilon<|g(a)|$). La $m=\min_{x\in (a-\delta_1,a+\delta_1)}(|g(x)g(a)|)$. Nå kan du bruke kontinuiteten til $g(x)$ i $x=a$: Det fins en $\delta<\delta_1$, slik at $|g(x)-g(a)|<m\epsilon$ for alle $|x-a|<\delta$.

Edit:

Dermed blir $|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(a)}|=|\frac{g(x)-g(a)}{g(x)g(a)}|<\frac{m\epsilon}{|g(x)g(a)|}\le \epsilon$ for alle x slik at $|x-a|<\delta$.