Vi tenker oss at vi deler linjestykket fra a til b i n like lange deler. La [tex]P=\left \{ x_{0},x_{1},...x_{n-1},x_{n} \right \}[/tex] være mengden av alle disse punktene, hvor [tex]a=x_{0}[/tex] og [tex]b=x_{n}[/tex].
Som vi ser av tegningen i vedlegget vil lengden fra [tex]f(x_{k-1})[/tex] til [tex]f(x_{k})[/tex] (av Pytagoras' læresetning) være lik [tex]\sqrt{\Delta x^2+(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2}[/tex] for en hvilken som helst [tex]k\in \left \{ 0,1,2,...,n-1,n \right \}[/tex]. Her er [tex]\Delta x=x_{k}-x_{k-1}[/tex]. På tegningen er altså dette illustrert for [tex]k=2[/tex].
Vi ser nå at lengden L av grafen mellom a og b er [tex]L=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\Delta x^2+(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2}[/tex]
Fordi [tex]x_{k}=x_{k-1}+\Delta x[/tex], er
[tex]\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}=\frac{f(x_{k-1}+\Delta x)-f(x_{k-1})}{\Delta x}[/tex], men ettersom
[tex]n\rightarrow \infty[/tex] må også [tex]\Delta x\rightarrow 0[/tex]. Det fører til at
[tex]L=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\Delta x^2+(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\Delta x^2+(\Delta x^2 \cdot f'(x_{k-1})^2)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\Delta x^2(1+f'(x_{k-1})^2)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \Delta x \sqrt{1+f'(x_{k-1})^2}[/tex]. Dette er en uendelig sum som vi kan omgjøre til integralet fra a til b:
[tex]\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2} dx[/tex]
QED
Takker så mye for all hjelp!
