Oppgaven er hentet fra Miles Reids Commutative Algebra (oppgave 0.6ii), og lyder:
Først har jeg funnet ut at alle homomorfier oppfører seg en som en evalueringshomomorfi, altså [tex]\phi\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f(\phi(T))}{g(\phi(T))}[/tex]. Homomorfien bestemmes kun av polynomet [tex]\phi(T)\in K[/tex].Let [tex]K=k(T)[/tex] be the field of rational functions; a [tex]k[/tex]-automorphism of [tex]K[/tex] is a ring homomorphism [tex]\phi:K→K[/tex] that is the identity on [tex]k[/tex] and is an automorphism of [tex]K[/tex].
Describe the group [tex]\text{Aut}_k(K)[/tex] of [tex]k[/tex]-automorphisms of [tex]K[/tex].
Dette polynomet kaller jeg [tex]\frac{f}{g}[/tex], og siden homomorfien "evaluerer" alle polynomene ved dette definerer jeg [tex]\phi:=\phi_{f/g}[/tex], med andre ord, [tex]\phi_{f/g}(T)=\frac{f}{g}[/tex]. Siden [tex]\phi_{f/g}[/tex] skal være en automorfi burde det finnes en invers, [tex]\phi_{r/s}[/tex], slik at
[tex]\phi_{r/s}(\phi_{f/g})(T)=\frac{f\left(\frac{r}{s}\right)}{g\left(\frac{r}{s}\right)}=T\iff g\left(\frac{r}{s}\right)T=f\left(\frac{r}{s}\right)[/tex]
Jeg har lyst til å finne ut graden til [tex]f,g[/tex]. Dette gjør jeg ved å gange forrige polynom med [tex]s^{\deg(g)+\deg(f)}[/tex]. Dette gir
- [tex]f\left(\frac{r}{s}\right)s^{\deg(f)+\deg(g)}=s^{\deg(g)}\sum_{i=0}^{\deg(f)}a_is^{\deg(f)-i}r^i[/tex]
- [tex]Tg\left(\frac{r}{s}\right)s^{\deg(f)+\deg(g)}=Ts^{\deg(f)}\sum_{j=0}^{\deg(g)}b_js^{\deg(g)-j}r^j[/tex]
- [tex]\deg(g)\deg(s)+\max_{0\leq i\leq\deg(f)}\{\deg(f)\deg(s)+i(\deg(r)-\deg(s))\}[/tex]
- [tex]1+\deg(f)\deg(s)+\max_{0\leq j\leq\deg(g)}\{\deg(g)\deg(s)+j(\deg(r)-\deg(s))\}[/tex]
[tex]1=\max_{0\leq i\leq\deg(f)}\{i(\deg(r)-\deg(s))\}-\max_{0\leq j\leq\deg(g)}\{j(\deg(r)-\deg(s))\}[/tex]
Her finnes det 3 tilfeller å undersøke,
- [tex]\deg(r)>\deg(s)[/tex], dette forenkler ligningen til [tex]1=(\deg(f)-\deg(g))(\deg(r)-\deg(s))[/tex]. Dette ser ikke riktig ut, da det er mulig å ha alle de ulike gradene lik 1 (automorfien er en lineær transformasjon)
- [tex]\deg(r)=\deg(s)[/tex], dette forenkler ligningen til [tex]1=0[/tex]
- [tex]\deg(r)<\deg(s)[/tex], dette gir akkurat samme resultat som forrige punkt