Max-min på begrensede domener

[Uncle Sam]

Jeg skal finne maks/min verdier for f(x,y) = x - x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] på rektanglet x € [0,2] og y € [0,1].

Jeg sliter å forestille meg hva dette er fornoe. Jeg har en funksjon jeg ikke vet hvordan ser ut, som jeg skal finne maks/min verdier for, men bare innenfor gitte x- og y-verdier?

[ingentingg]

Mulige max/min punkt er punkter innen for definisjonsområdet hvor de partielle deriverte er null, eller punkter på randen.

Randen kan enkelt sjekkes vha lagrange, eller ved redusere det til et 1 variabel problem langs randen.

[Uncle Sam]

Vel, den partiellderiverte er 0 når y=0 og x=1/2, skal jeg da sette inn de i f(x,y)? Randpunktene skjønner jeg ikke hvordan jeg skal få til.

[Solar Plexsus]

Langs randen av definisjonsområdet er x=0, x=2, y=0 eller y=1. Så der er f(x,y) lik

1) f(0,y) = y[sup]2[/sup] €[0,1] for y€[0,1],
2) f(2,y) = y[sup]2[/sup] - 2 €[-2,-1] for y€[0,1],
3) f(x,0) = -x[sup]2[/sup] + x €[-2,1/4] for x€[0,2],
4) f(x,1) = -x[sup]2[/sup] + x + 1 €[-1,5/4] for x€[0,2].

Nå er også de partiellderiverte lik 0 hvis og bare hvis (x,y) er randpunktet (1/2,0). Følgelig gir 1)-4) minimal- og maksimalverdi for f(x,y) innenfor definisjonsområdet. Vi ser at

f[sub]min[/sub](x,y) = -2,
f[sub]max[/sub](x,y) = 5/4.

[Uncle Sam]

Hm, skjønner ikke dette helt.

Er det sånn at når vi partiellderiverer funksjonen, finner vi maks/min for funksjonen, som i ovenfor (1/2, 0). Men dette holder ikke? De kan også befinne seg på randen? Da setter vi inn for evt. rand-verdier og sammenlikner med de partiellderiverte? Deretter velger vi ut de verdiene som gir maks og min?

Jeg skjønner ikke dette:

Nå er også de partiellderiverte lik 0 hvis og bare hvis (x,y) er randpunktet (1/2,0). Følgelig gir 1)-4) minimal- og maksimalverdi for f(x,y) innenfor definisjonsområdet.