matematikk.net

Hei, jeg trenger hjelp med to oppgaver. Forstår ikke hva som er feil.

1:

https://imma.gr/86858xaa000

Her fulgte jeg denne videoen, som er samme oppgave men med ulike tall: https://www.youtube.com/watch?v=rPPvyQynTSs

parametriserte slik som hun, ganga integralet med 2 for å få heile lengda osv. Men svaret mitt blir ikke riktig? Har ikke med første del av min oppgaveløsning, da jeg skrev den på papir, men dere ser hvilke parametriseringer jeg kom frem til.

2.
https://imma.gr/86859xf068e

Her deriverte jeg kurven r for å finne hastighetsvektoren. Fann lengden av den vha sqrt ( a^2+b^2+c^2). gjorde tilsvarende for å finne lengda av akselerasjonen. Men her og har jeg gjort noe feil, da ingen av svara jeg prøver på gir riktig

Problem: Finn total lengde av skjeringskurva mellom kuleflata

( 1 ) x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] + z[tex]^{2}[/tex] = [tex]\frac{1}{8}[/tex]


og den elliptiske sylinderen

( 2 ) 8 x[tex]^{2}[/tex] + 11 z[tex]^{2}[/tex] = 1

Forslag til løysing: Ellipselikninga kan skrivast på forma


[tex]\frac{x^{2}}{(\frac{1}{\sqrt{8}})^{2}}[/tex] + [tex]\frac{z^{2}}{(\frac{1}{\sqrt{11}})^{2}}[/tex] = 1

På parameterform:

x = [tex]\frac{1}{\sqrt{8}}[/tex] cos[tex]\varphi[/tex] , [tex]\varphi[/tex] [tex]\in[/tex] [0 , 2[tex]\pi[/tex] [tex]>[/tex]

z = [tex]\frac{1}{\sqrt{11}}[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]

Ved innsetjing i ( 1 ) endar vi opp med

y = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]

x'([tex]\varphi[/tex]) = - [tex]\frac{1}{\sqrt{8}}[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]

y'([tex]\varphi[/tex] ) = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex]cos[tex]\varphi[/tex]

z'([tex]\varphi[/tex]) = [tex]\frac{1}{\sqrt{11}}[/tex]cos[tex]\varphi[/tex]

Bogelengda( L ) av skjeringskurva mellom sylinder og eine halvkula:

L = [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex][tex]\sqrt{x'(\varphi )^{2}+y'(\varphi )^{2}+z'(\varphi )^{2}}[/tex]d[tex]\varphi[/tex]= [tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\pi[/tex]

Sylinder skjer begge halvkulene ( symmetri om xz-planet ). Det gir samla bogelengde

2 L = 2[tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\pi[/tex]

Tusen takk! Nå skjønner jeg hvordan den skal løses. Er ikke helt komfortabel med å skrive om til ellipseform o.l enda, så da vet jeg hva jeg må øve på

har fått til den andre oppgaven, så trenger ikke flere svar her:)

Mattegjest skrev:Problem: Finn total lengde av skjeringskurva mellom kuleflata

( 1 ) x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] + z[tex]^{2}[/tex] = [tex]\frac{1}{8}[/tex]


og den elliptiske sylinderen

( 2 ) 8 x[tex]^{2}[/tex] + 11 z[tex]^{2}[/tex] = 1

Forslag til løysing: Ellipselikninga kan skrivast på forma


[tex]\frac{x^{2}}{(\frac{1}{\sqrt{8}})^{2}}[/tex] + [tex]\frac{z^{2}}{(\frac{1}{\sqrt{11}})^{2}}[/tex] = 1

På parameterform:

x = [tex]\frac{1}{\sqrt{8}}[/tex] cos[tex]\varphi[/tex] , [tex]\varphi[/tex] [tex]\in[/tex] [0 , 2[tex]\pi[/tex] [tex]>[/tex]

z = [tex]\frac{1}{\sqrt{11}}[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]

Ved innsetjing i ( 1 ) endar vi opp med

y = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]

x'([tex]\varphi[/tex]) = - [tex]\frac{1}{\sqrt{8}}[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]

y'([tex]\varphi[/tex] ) = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex]cos[tex]\varphi[/tex]

z'([tex]\varphi[/tex]) = [tex]\frac{1}{\sqrt{11}}[/tex]cos[tex]\varphi[/tex]

Bogelengda( L ) av skjeringskurva mellom sylinder og eine halvkula:

L = [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex][tex]\sqrt{x'(\varphi )^{2}+y'(\varphi )^{2}+z'(\varphi )^{2}}[/tex]d[tex]\varphi[/tex]= [tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\pi[/tex]

Sylinder skjer begge halvkulene ( symmetri om xz-planet ). Det gir samla bogelengde

2 L = 2[tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\pi[/tex]

Ender man ikke opp med integralet L = $\int_0^{2\pi} \sqrt\frac18 dt$ ?
Som gir L = $\frac {\pi}{\sqrt2}$. To slike skjæringslinjer gir
$2*\frac {\pi}{\sqrt2}$

Josi har heilt rett. Oppdaga sjølv denne feilen ved kontrollrekning.

Utrekninga mi har dessutan ein formell feil:

Skriv ellipselikninga på parameterform slik som vist i løysingforslaget mitt.
Set inn for x og z i kulelikninga. Da endar eg opp med

y[tex]^{2}[/tex] = [tex]\frac{3}{88}[/tex] sin[tex]^{2}[/tex]y [tex]\Rightarrow[/tex]y = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex] [tex]\left | siny \right |[/tex].

I løysingforslaget mitt har eg ikkje " absoluttverdien av y " , men denne feilen har, så vidt eg kan sjå , ingen innverknad på sluttresultatet.

Vil gjerne ha tilbakemelding på denne kommentaren.

y[tex]^{2}[/tex] = [tex]\frac{3}{88}[/tex][tex]\cdot[/tex]sin[tex]^{2}[/tex][tex]\varphi[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] y = [tex]\frac{3}{88}[/tex][tex]\left | sin\varphi \right |[/tex] ( absoluttverdien av sin[tex]\varphi[/tex] )

Ser no at vi kan unngå " absoluttverdien av sin[tex]\varphi[/tex] " ved å innskrenke integrasjonsområdet til variablen [tex]\varphi[/tex].

Vi har at y = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex][tex]\cdot[/tex] [tex]\left | sin\varphi \right |[/tex]= [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex][tex]\cdot[/tex]sin[tex]\varphi[/tex] når [tex]\varphi[/tex] [tex]\in[/tex][0 , [tex]\pi[/tex] ].

Skjeringskurva mellom kula og den delen av sylinderen som ligg til høgre for xz-planet ( y [tex]\geq[/tex] 0 ) består av to delar som " speglar kvarandre " om xy-planet. Den delen som ligg over xy-planet svarar til 0[tex]\leq[/tex][tex]\varphi[/tex][tex]\leq[/tex] [tex]\pi[/tex].

Denne delen har lengda L[tex]_{1}[/tex] = [tex]\int_{0}^{\pi }[/tex][tex]\sqrt{(x'(\varphi )^{2}+ y'(\varphi )^{2} + z'(\varphi )^{2})}[/tex]d[tex]\varphi[/tex] = [tex]\frac{\pi }{2\sqrt{2}}[/tex].

P.g.a. symmetrien om xz-planet får skjeringskurva ei samla lengde

L = 4[tex]\cdot[/tex]L[tex]_{1}[/tex] = [tex]\frac{2\pi }{\sqrt{2}}[/tex] = [tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\pi[/tex]

Jeg lurer på mulighetene for å finne det analytiske kriteriet for at man får to skjæringskurver, én "foran" xz-plant og én "bak." Kvadratroten av $y^2$ kommer i +/-. Det gir to slike skjæringslinjer.

Likninga y[tex]^{2}[/tex] = [tex]\frac{3}{88}[/tex] sin[tex]^{2}[/tex][tex]\varphi[/tex]

har to løysingar: y = [tex]\pm[/tex][tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex][tex]\left | sin\varphi \right |[/tex]

Løysinga

y = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex][tex]\left | sin\varphi \right |[/tex]

definerer y-området for den delen av skjeringskurva som ligg " foran " xz-planet ( y [tex]\geqslant[/tex] 0 ), medan

y = - [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex][tex]\left | sin\varphi \right |[/tex] svarar til y-området for den delen

som ligg " bak " ( y [tex]\leq[/tex] 0 ) . Vidare ser vi at dei to kurvedelane " heng i hop " i to punkt: (-1/[tex]\sqrt{8}[/tex], 0 , 0 ) og ( 1/[tex]\sqrt{8}[/tex], 0 , 0 ). Det viser berre at skjeringskurva mellom kula og sylinderen består av to delar som speglar kvarandre om xz-planet. Denne symmetrien kan vi også slutte oss til ut frå ein figuranalyse:
XZ-planet er symmetriplan for både kula og sylinderen , og da må nødvendigvis skjeringa mellom dei to objekta også ligge symmetrisk om dette planet.

Takk for klargjørende analyse!