Epsilon Delta bevis

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
MariusR

Hei! Jeg forsøker å lære meg hvordan jeg skal gå frem for å løse epsilon delta bevis oppgaver.
Spørsmålet jeg lurer mest på er hvor man får ett tallet fra (der jeg skriver "På LF ser jeg at de sier")
(I denne ulikheten [tex]|x-2|<1[/tex])


Benytt den formelle definisjonen av grenseverdien for å finne (Epsilon-Delta):

[tex]\lim_{x\to 2}\frac{6}{x}=3[/tex]

Det jeg har forstått er at du må ta |f(x)-L|<Epsilon og si at 0<|x-a|<Delta (Der a er den verdien x går mot)
Og forsøke å manipulere |f(x)-L|<Epsilon slik at det ligner |x-a|<Delta.

Her gir det:
[tex]|\frac{6}{x}-3|<\epsilon[/tex] og [tex]0<|x-2|<\delta[/tex]
Manipulerer epsilonlikningen til å "inneholde" deltalikningen:
[tex]|\frac{6-3x}{x}|<\epsilon[/tex]
[tex]\frac{3|x-2|}{|x|}<\epsilon[/tex]
Så må vi finne ut hva [tex]\frac{1}{|x|}[/tex]blir sånn at vi kan finne delta ved å dele epsilon på 3 og [tex]\frac{1}{|x|}[/tex] (Liker tydeligvis ikke å dele epsilon på x'er i slike bevis)

På LF ser jeg at de sier
[tex]|x-2|<1[/tex] (LURER PÅ HVOR ETT TALLET KOMMER FRA OG HVORFOR)
Og bruker dette for å få
[tex]-1<x-2<1[/tex]
Og løser for x slik at
[tex]1<x<3[/tex] slik at [tex]|x|>1[/tex] som gir [tex]\frac{1}{|x|}<1[/tex]

[tex]\frac{3|x-2|}{|x|}<3|x-2|<\epsilon[/tex]

Dette gir:
[tex]|x-2|<\frac{\epsilon }{3}[/tex]

Delta blir da:
[tex]\delta =\frac{\epsilon }{3}[/tex]

I svar på LF er det (Gitt at Delta>0)
[tex]\delta =min(1,\frac{\epsilon }{3})[/tex]

Hva betyr egentlig min(1,epsilon/3)? Er dette ett tallet det samme som ett tallet i ulikheten [tex]|x-2|<1[/tex] ?
Husk det jeg lurer mest på er hvor ett tallet i ulikheten [tex]|x-2|<1[/tex] kommer fra...

Tusen takk på forhånd om du klarer å finne en enkel forklaring på hvor det kommer fra!
MariusR
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 2
Registrert: 24/11-2019 00:38
Sted: NTNU Gløshaugen

Opprettet en bruker og venter på svar
Emilga
Riemann
Riemann
Innlegg: 1552
Registrert: 20/12-2006 19:21
Sted: NTNU

Vi kan tenke på epsilon-delta-bevis som et spill mellom deg og en motstander.

Motstanderen velger en liten $\epsilon$, og spør om du klarer å gjøre forskjellen mellom $f(x)$ og $L$ mindre enn $\epsilon$.

Hvis du alltid klarer å svare med en $\delta$ slik at $\lvert f(x) - L \rvert < \epsilon$ så lenge $\lvert x - a \rvert < \delta$, så sier vi at $L$ er grenseverdien til $f(x)$ når $x \to a$.

Vi uttrykker ofte $\delta$ ved $\epsilon$, siden dette er en gitt størrelse. Og siden $\epsilon$ begrenser den tillatte høydeforskjellen mellom $f(x)$ og $L$, vil den også begrense det tillate $x$-intervallet som gis av $\delta$.



Fra denne likningen:

$$ \frac{3 \lvert x - 2 \rvert}{\lvert x \rvert} < \epsilon $$

Kan vi dele inn i to tilfeller. Først når $\lvert x - 2 \rvert < 1$, og så når $\lvert x - 2 \rvert \geq 1$.

Dersom $\lvert x - 2 \rvert < 1$, får vi:

$ 1< x < 3$ som gir $1 / \lvert x \rvert < 1$

$ 3 \lvert x - 2 \rvert < \lvert x \rvert \epsilon < \epsilon $

Som gir oss $ \lvert x - 2 \rvert < \epsilon / 3$. Altså velger vi $\delta = \epsilon/3$.

Tilfellet der $\lvert x - 2 \rvert \geq 1$ kan vi ignorere ved å aldri velge $\delta$ større enn $1$.

Siden $\epsilon$ kan være et hvilket som helst positivt tall må vi velge $\delta$ lik den minste av disse to verdiene:

$$ \delta = \min \left( 1, \frac{\epsilon}{3} \right) $$

Sagt på en annen måte: dersom motstanderen velger en liten $\epsilon = 10^{-3}$ velger vi $\delta = 10^{-3}/3$ slik at ulikheten $3 \lvert x-2 \rvert / \lvert x \rvert < \epsilon$ oppfylles.

Dersom han velger en stor $\epsilon = 1000$, velger vi $\delta = 1$, slik at vi likevel har $\lvert x - 2 \rvert < \delta = 1$, som da også oppfyller $3 \lvert x-2 \rvert / \lvert x \rvert < \epsilon$.
MariusR
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 2
Registrert: 24/11-2019 00:38
Sted: NTNU Gløshaugen

Antar du bare at |x-2|<1 fordi 1 er et "lite" tall, eller er det en regel som tvinger |x-2| til å være enten mindre enn 1 eller større/lik 1?
Kan vi dele inn i to tilfeller. Først når ∣x−2∣<1, og så når ∣x−2∣≥1.
Kunne man bare antatt at |x-2| er mindre enn f.eks. 2 og større/lik 2 også? Hvis nei, hvorfor ikke??
Emilga
Riemann
Riemann
Innlegg: 1552
Registrert: 20/12-2006 19:21
Sted: NTNU

Hvis vi velger $ \lvert x - 2 \rvert < 2 $ ender vi opp med $ 0 < x < 4$ som gir oss $ \infty > \frac{1}{\lvert x \rvert } > 1/4$.

Dvs. at venstresiden av uttrykket $\frac{3 \lvert x-2 \rvert }{\lvert x \rvert } < \epsilon$ kan bli arbitrært stor.

Dersom vi velger f.eks. $ \rvert x-2 \lvert < \frac 32$, så går det, siden vi da får $ 2 > \frac{1}{\lvert x \rvert } > \frac 27$.

Vi får da $ \delta = \min \left( \frac{3}{2}, \frac{\epsilon}{6} \right) $
Svar