Solve the initial-value problem

[Gjest]

Solve the initial-value problem y'' - k[sup]2[/sup]y = 0, y(a) = y[sub]0[/sub], y'(a) = v[sub]0[/sub]. Express the solution in terms of the function hL,M(x) = L*cosh(k(x-a)) + M*sinh(k(x-a)).

Hjelp ønskes.

[Heisenberg]

Hei,-

y''-k[sup]2[/sup]=0

Annen ordens lineær diff.likning med karakteristisk pol.

p(r)=r^2-k^2

p(r)=0 gir r=pluss/minus k

Dermed kan den generelle løsningen til diff. likningen skrives

y(x)=Ae^(kx)+Be^(-kx) (1)

A og B bestemmes fra initialbetingelsene.

y(a)=Ae^(ka)+Be^(-ka)=y_0
y'(a)=Ake^(ka)-Bke^(-ka)=v_0

Dette likningssystemet har løsningen

A=((ky_0+v_0)/(2k))*e^(-ka)
B=((ky_0-v_0)/(2k))*e^(ka)

Sett dette inn i (1) ovenfor og bruk definisjonen for cosh og sinh, så får
du skrevet løsningen på formen du ønsker.

[Gjest]

"Sett dette inn i (1) ovenfor og bruk definisjonen for cosh og sinh, så får
du skrevet løsningen på formen du ønsker."

Det er kanskje det jeg sliter mest med! Mye tricksy omgjøring.

Takk så langt!

[Heisenberg]

OK

Fortsettelse:

y(x)= ((ky_0+v_0)/(2k))e^(kx-ka)+((ky_0-v_0)/(2k))e^(-kx+ka)
= y_0((e^(k(x-a))+e^(-k(x-a))/2)+(v_0/k)*((e^(k(x-a))-e^(-k(x-a)))/2)
= y_0 cosh(k(x-a)+(v_0/k) sinh(k(x-a))

Dette er lik h(x) med L=y_0 og M=v_0/k.
Det ble forbasket knotete med alle parantesene men jeg tror det er
mulig å forstå hva som skjer der.

[Gjest]

Åiåi, takker! Nå skjønte jeg det, var veldig greit å følge utregningen din også, toppers!