matematikk.net

Har kommet over en oppgave jeg ikke kommer så langt på, jeg har kommet opp med en løsning på a), men jeg er ikke fornøyd med den, så vil gjerne ha forslag til forbedring hvis det finnes. b) kommer jeg ikke videre med.

Oppgave del a)
La [tex]f(x)=4-x^{2}[/tex] for [tex]1\leq x\leq 3[/tex]
a) Vis at tallet c finnes, der c inne går i intervallet (1,2) slik at (c, f(c)) er punktet på grafen f som er nærmest (1,0).

Foreslått løsning: her lagde jeg en funksjon for distansen mellom (1,0) og (c,f(c)):
[tex]g(x)=\sqrt{(x-1)^{2}+(f(x)-0)^{2})} =\sqrt{(x-1)^{2}+(4-x^{2})^{2})}[/tex]
Jeg klarer ikke løse dette så jeg kommer meg nærmere et tallsvar, men min løsning er at vi nå kan intuitivt gjøre disse argumentene:
Avstanden mellom punktet og c er der g(x) er minst.
ledd 1: nullpunkt er x=1, større x-verdi gir større ledd
ledd 2: nullpunkt er x=2
Konklusjon, g(x) vil ha minst mulig verdi mellom nullpunktene ettersom hvert av leddene har minst verdi mellom x=1 og x=2, derfor må c ligge i intervallet (1,2).

Oppgave del b)
b) Finn en tilnærming til c med 4 siffers nøyaktighet.

Foreløpig prosess:
Siden jeg har satt opp et uttrykk for avstanden allerede, er jeg på utkikk etter x-verdien der uttrykket har et minstepunkt i intervallet (1,2).
Hvis jeg lager en ny funksjon hvor jeg opphøyer g(x) i annen:
[tex]h(x)=(x-1)^{2}+(4-x^{2})^{2}[/tex]
så vil den ha samme bunnpunkt.

Jeg har prøvd å derivere den og finne et uttrykk der h'(x)=0, men jeg klarer ikke finne en tilnærming til c ved hjelp av newtons metode. (Noe som ikke er rart siden jeg prøver å finne en tilnærming til 3 ulike verdier)

Hvordan kan jeg komme opp med et uttrykk der newtons klarer å tilnærme seg et svar? Jeg klarer ikke forkorte uttrykket jeg har noe mer på egenhånd ettersom jeg ikke vet noen av nullpunktene på forhånd, og jeg har sett grafisk at de ikke er heltall, så polynomdivisjon vil være vanskelig hvis jeg skal gjette.

Dette er ment som en øvingsoppgave til eksamen, så vi skal ikke ha tilgang til graftegner eller likningsløser, så det skal kunne være mulig å gjøre den uten dette.

Setter stor pris på all hjelp!

Siden $g(x)$ er positiv for alle $x$, vil den ha samme minimumspunkt som $g^2(x)$.

For å finne minimumspunktet til $g^2(x)=h(x)= (x-1)^2+(4-x^2)^2$ setter vi den deriverte lik $0$:

$h^\prime (x) = 4x^3 - 14x - 2$

Og siden $h^\prime(1)= -12 < 0$ og siden $h^\prime (3) = 64 > 0$ vet vi at den må finnes en $c \in (1, 3)$ slik at $h(c)=0$. Altså at det finnes en $c \in (1,3)$ som minimerer $g$.


Newton's metode finner nullpunktet til en funksjon.

I denne oppgaven vil vi finne nullpunktet til $h^\prime$.

La $d(x) = h^\prime(x) = 4x^3 - 14x - 2$.

Da blir Newton's metode:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{d(x_n)}{d^\prime(x_n)}$$

Med $x_0$ en tallverdi mellom $1$ og $3$. F.eks. $x_0 = \frac{1+3}2 = 2$.

TUSEN TAKK!

Liten påpekning:

Oppgaven slik den først var skrevet var å vise at punktet [tex]c[/tex] lå mellom 1 og 2.
Løsningen som er gitt viser at [tex]c[/tex] finnes mellom 1 og 3.

Så for å vise at det ligger mellom 1 og 2 må du se at [tex]h'(1) < 0[/tex] og [tex]h'(2) > 0[/tex]
Men siden [tex]h'(2) = 2 > 0[/tex] går dette fint

Good catch!