matematikk.net

Hei, har begynnt på universitet nå etter 1 år jobbing og 1 år militær, og merker at jeg sliter skikkelig med matten.
Har en innlevering nå, samt jeg har blitt syk og alt blir bare rett og slett for mye for meg akkurat nå. Kan noen vær så snill å hjelpe meg i riktig retning med disse oppgavene? Føler jeg blir gal av å stå og stange og ikke komme meg noen vei.

Tror mer eller mindre alle på gløshaugen har vært sjuke den siste uka, har ikke hørt annet enn konstant hosting og snufsing i forelesningssalene.

Kan skyve deg litt i gang med eneren. Det ligger det litt i hintet. Bruk skvis-teoremet.

La [tex]f(x)=\left\{\begin{matrix} \ln(1+\sqrt{|x|})\sin(\frac{1}{x}) &x\neq 0 \\ 0 &x=0 \end{matrix}\right.[/tex]

Observer at [tex]\sin\frac{1}{x}[/tex] er fanget mellom linjene [tex]y=\pm 1[/tex] og oscillerer opp og ned med kortere og kortere periode når du nærmer deg [tex]x=0[/tex], dermed kan vi si at [tex]-1\leq \sin\left (\frac{1}{x} \right )\leq 1[/tex]. Gang opp hele greia med [tex]\ln(1+\sqrt{|x|})[/tex].

Da får vi at [tex]-\ln(1+\sqrt{|x|})\leq \ln(1+\sqrt{|x|})\sin\left ( \frac{1}{x} \right )\leq\ln(1+\sqrt{|x|})[/tex]. Prøv å ta grenseverdiene av den nedre og øvre delen av ulikeheten når [tex]x\rightarrow 0[/tex]. Hva ser du?

Kay skrev:Tror mer eller mindre alle på gløshaugen har vært sjuke den siste uka, har ikke hørt annet enn konstant hosting og snufsing i forelesningssalene.

Kan skyve deg litt i gang med eneren. Det ligger det litt i hintet. Bruk skvis-teoremet.

La [tex]f(x)=\left\{\begin{matrix} \ln(1+\sqrt{|x|})\sin(\frac{1}{x}) &x\neq 0 \\ 0 &x=0 \end{matrix}\right.[/tex]

Observer at [tex]\sin\frac{1}{x}[/tex] er fanget mellom linjene [tex]y=\pm 1[/tex] og oscillerer opp og ned med kortere og kortere periode når du nærmer deg [tex]x=0[/tex], dermed kan vi si at [tex]-1\leq \sin\left (\frac{1}{x} \right )\leq 1[/tex]. Gang opp hele greia med [tex]\ln(1+\sqrt{|x|})[/tex].

Da får vi at [tex]-\ln(1+\sqrt{|x|})\leq \ln(1+\sqrt{|x|})\sin\left ( \frac{1}{x} \right )\leq\ln(1+\sqrt{|x|})[/tex]. Prøv å ta grenseverdiene av den nedre og øvre delen av ulikeheten når [tex]x\rightarrow 0[/tex]. Hva ser du?

Takk!
Akkurat dette jeg trengte, ble bare så usikker når jeg så x = 0 isteden for x >_ 0.
Trur jeg må til med litt mengde trening, klarer ikke helt å se hvordan jeg skal angripe oppgavene enda :/
Ser jo lett nå at når x --> så vil både nedre grense og øvre grense gå mot 0, som medfører at funksjonen er kontinuerlig.
Lett at hodet går når man er forkjøla, takk igjen!

Noen tips til resten av oppgavene:


2. Deriver likningen, først én gang, og så to ganger. Husk at $y$ er en funksjon av $x$, altså må vi bruke f.eks. kjerneregelen på $\frac d{dx} e^y$.

Når vi vet at $x=0$ kan vi løse for $y(0)$ i den opprinnelige likningen.

Da kan vi løse for $y^\prime(0)$ i likningen vi deriverte én gang.

Til slutt løser vi for $y^{\prime \prime}(0)$ i likningen vi deriverte to ganger.


3. Konstruer først hjelpefunksjonen $g(x) = f(x) - L(x)$, der $L$ er linjen som forbinder $(a, f(a))$ og $(b, f(b))$. Hva blir funksjonsuttrykket for $L$? Hjelpefunksjonen vår $g$ er to ganger deriverbar. Hvorfor?

Hvorfor er $g(a) = 0$ og $g(c) = 0$ og $g(b) = 0$?

Bruke Rolle's Teorem på $g$ først på intervallet $[a,c]$, og så på $[c,b]$.

Hva vet vi nå om $g^\prime$ på disse to intervallene?

Bruk Rolle en gang til, denne gangen på $g^\prime$. På hvilket intervall blir dette? Hva vet vi nå om $g^{\prime \prime}$. Hva forteller dette oss om $f^{\prime \prime}$?


4. Under hvilke betingelser har $f$ en inversfunksjon? Hva må den deriverte til $f$ være, for at inversen eksisterer? (Wikipedia hint.)