matematikk.net

Hei! Sliter litt med å starte på denne:


(1) jeg vet ikke helt hva "mixed initial-terminal value data problem" betyr.. Men velger å ikke tillegge det for mye vekt, da det vel bare er en form for diffligning?
(2) har ikke sett noe tilfeller med diffligning hvor det er over et intervall før, her altså [tex]t\in [0,\pi ][/tex]... Så det er også litt "???"
(3) det på høyresiden slo meg først som, "ahh Heaviside!/unit step function", men! der er det jo [tex]\left\{\begin{matrix} 0 & t <a \\ 1 & t\geqslant a \end{matrix}\right.[/tex], som jo er litt annerledes enn her..

Vet i hvert fall hvordan man tar Laplace av venstre! Tror jeg, med mindre det endrer seg når man har et intervall? Noen som har noen råd, stikkord e.l. som kan hjelpe meg igang?

Okei, så har prøvd dette her:


men er det lov å substituere y'(0) vekk på den måten? Da ignorerer jeg jo egentlig den... og innser at jeg egentlig aldri substituerte den tilbake, så noe må jo være galt her...

(1) "Mixed initial-terminal value" betyr at vi får informasjon om $y$ i randpunktene: intialpunktet $t=0$ og endepunktet $t = 0$.

At det er "mixed" betyr at vi får vite funksjonsverdien til $y$ i punktet $t=0$ (altså er denne betingelsen av typen Dirichlet), mens vi får vite verdien til den deriverte i endepunktet (altså er denne betingelsen av typen Neumann). Til sammen er de da mixed.


(2) Selv om oppgaven begrenser definisjonsmengden til $y$ til å være $[0, \pi]$, tror(!) jeg vi bare kan anta at $y(t)$ også eksisterer for alle $t \in [0, \infty)$. Så lenge $y(t) \leq C e^{Mt} \, \forall \, t \in [0, \infty)$ for gitte konstanter $C$ og $M$, er Laplacetransformasjonen veldefinert.

(3) Vi kan bruke Heaviside-funksjonen, som du nevner:

$$
1 - u(t-a) = \begin{cases} 0 \text{ for $x > a$} \\ 1 \text{ for $x < a$} \end{cases}
$$

Eller vi kan integrere direkte, og dele opp integralet alt etter hvordan høyresiden er definert på de forskjellige intervallene, slik du gjorde.


Jeg leste kjapt over løsningen din, og dette ser riktig ut.

Det er også riktig å substituere bort $y^\prime (0)$. Dette er bare en konstant, som vi riktig nok ikke kjenner tallverdien på når vi inverterer Laplacetransformasjonen. Men denne finner vi ved å bruke endepunktsbetingelsen $y^\prime (\pi) = 1$, siden dette gir oss en likning vi kan løse for $y^\prime (0)$, som vi da substituerer for i uttrykket for $y(t)$.