Matrise med komplekse tall

[Skanin]

(Dette er en oppgave fra en øving i TMA4110 ved NTNU, vil ikke ha noen svar, bare litt hjelp! )

Hei!

Har en oppgave med et likningssystem med komplekse tall. Har kommet litt på vei, her er det jeg har gjort så langt:

[tex]\begin{align*} \begin{bmatrix} 2 & i & 5-3i & | & 10 \\ 4 & 2i & 10+2i & | & 20+16i \\ 2i & -1 & 4+6i & | & 2+12i \end{bmatrix} &\sim \begin{bmatrix} 2 & i & 5-3i & | & 10 \\ 4 & 2i & 10+2i & | & 20+16i \\ 0 & 0 & 1+i & | & 2+2i \end{bmatrix} \\ \\ &\sim \begin{bmatrix} 2 & i & 5-3i & | & 10 \\ 4 & 2i & 10+2i & | & 20+16i \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} \end{align*}[/tex]

Her hadde jeg planer om å stoppe, for så lage et nytt likningsett:
[tex]\begin{cases} 2z + iw &= 6i \\ 4z + 2iw &= 12i \end{cases}[/tex]
og sette opp en matrise her og regne ut, men er dette en gyldig måte å løse slike type oppgaver? Går det altså an å sette opp en ny matrise hvor jeg har brukt at [tex]u = 2[/tex] (eller generelt i slike oppgaver)?
Ser jo her at disse to likningene "er de samme", bare doblet/halvert og at jeg ikke egentlig kommer noen vei her.

Prøvde å "gausse" litt mer, som foreleser liker å kalle det:
[tex]\begin{align*} \begin{bmatrix} 2 & i & 5-3i & | & 10 \\ 4 & 2i & 10+2i & | & 20+16i \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} &\sim \begin{bmatrix} 2 & i & 5-3i & | & 10 \\ 0 & 0 & 4i & | & 8i \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} \\ \\ &\sim \begin{bmatrix} 2 & i & 5-3i & | & 10 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} \end{align*}[/tex]

Som igjen bare gir meg at [tex]u = 2[/tex] også står jeg fortsatt igjen med [tex]2z + iw + (5-3i)u = 10[/tex] evt. [tex]2z - iw = 6i[/tex]. Her kan jeg jo løse for [tex]z[/tex] eller [tex]w[/tex], men kommer vel aldri til å kunne løse for begge?

Lurer vel da egentlig på hvordan jeg kan starte med parametisering her, eller om det er meningen at jeg skal svare med at [tex]z = \frac{i(6-w)}{2}[/tex] og [tex]w = 6+2iz[/tex]?

[Emilga]

Her hadde jeg planer om å stoppe, for så lage et nytt likningsett:
[tex]\begin{cases} 2z + iw &= 6i \\ 4z + 2iw &= 12i \end{cases}[/tex]
og sette opp en matrise her og regne ut, men er dette en gyldig måte å løse slike type oppgaver? Går det altså an å sette opp en ny matrise hvor jeg har brukt at [tex]u = 2[/tex] (eller generelt i slike oppgaver)?
Ser jo her at disse to likningene "er de samme", bare doblet/halvert og at jeg ikke egentlig kommer noen vei her.

Matematisk sett er det helt gyldig å gjøre dette. Vi har funnet ut at $u = 2$, og dermed kan vi sette inn denne verdien i likningssystemet vårt, slik at vi ender opp med to likninger med to ukjente. Vi kan videre sette opp denne i en ny 2x3-utvidet matrise, slik du gjorde her.

Jeg vil likevel si at det er vanligere, og ryddigere, å "gausse" den opprinnelige matrisen helt til den blir øvre triangulær (eller bedre), gjerne med ledende enere på hver rad. Som dette:

[tex]\begin{bmatrix} 2 & i & 5-3i & | & 10 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix}[/tex]

Når vi ender opp med denne utvidede matrisen er det tydelig at vi har et underdeterminert system, dvs. et system med uendelig mange løsninger, som må parametriseres. Siden vi ender opp med én likning med to ukjente. (Dette er det samme som når vi ender opp med to likninger med to ukjente, der den ene likningen er en skalert versjon av den andre.)

Som igjen bare gir meg at [tex]u = 2[/tex] også står jeg fortsatt igjen med [tex]2z + iw + (5-3i)u = 10[/tex] evt. [tex]2z - iw = 6i[/tex]. Her kan jeg jo løse for [tex]z[/tex] eller [tex]w[/tex], men kommer vel aldri til å kunne løse for begge?

Lurer vel da egentlig på hvordan jeg kan starte med parametisering her, eller om det er meningen at jeg skal svare med at [tex]z = \frac{i(6-w)}{2}[/tex] og [tex]w = 6+2iz[/tex]?

Når vi har et underdeterminert system, er det ikke vanlig å skrive løsningene der $z$ uttrykkes ved $w$ for så å skrive $w$ uttrykt ved $z$ igjen.

Da er det bedre å indikere at en av variablene, f.eks. $w$, kan velges fritt: $w = v \, \forall \, v \in \mathbb{C}$. Som da gir oss $z = \frac{6i - iv}{2} \, \forall \, v \in \mathbb{C}$.

Altså skriver vi løsningen til systemet som:

[tex]\begin{cases} z = \frac{6i - iv}{2} \\ w = v \\ u = 2 \end{cases} \, \forall \, v \in \mathbb{C}[/tex]

[Skanin]

Matematisk sett er det helt gyldig å gjøre dette. Vi har funnet ut at $u = 2$, og dermed kan vi sette inn denne verdien i likningssystemet vårt, slik at vi ender opp med to likninger med to ukjente. Vi kan videre sette opp denne i en ny 2x3-utvidet matrise, slik du gjorde her.

Når vi ender opp med denne utvidede matrisen er det tydelig at vi har et underdeterminert system, dvs. et system med uendelig mange løsninger, som må parametriseres. Siden vi ender opp med én likning med to ukjente. (Dette er det samme som når vi ender opp med to likninger med to ukjente, der den ene likningen er en skalert versjon av den andre.)

Tusen takk! Fint å vite til andre oppgaver der jeg synes reduksjon blir litt vanskelig å gjennomføre! Føler det ofte er veldig tilfeldig og vanskelig å se hva jeg skal gjøre Det er vel bare mengdetrening tenker jeg

Da er det bedre å indikere at en av variablene, f.eks. $w$, kan velges fritt: $w = v \, \forall \, v \in \mathbb{C}$. Som da gir oss $z = \frac{6i - iv}{2} \, \forall \, v \in \mathbb{C}$.

Altså skriver vi løsningen til systemet som:

[tex]\begin{cases} z = \frac{6i - iv}{2} \\ w = v \\ u = 2 \end{cases} \, \forall \, v \in \mathbb{C}[/tex]

Supert, tusen takk! Blir det da også korrekt å skrive:

[tex]\begin{bmatrix} z\\ w\\ u \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{6i-ti}{2}\\ t\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{6}{2}\\ 0\\ 2 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} -\frac{i}{2}\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} \qquad \forall t \in \mathbb{C}[/tex]

[Emilga]

Tusen takk! Fint å vite til andre oppgaver der jeg synes reduksjon blir litt vanskelig å gjennomføre! Føler det ofte er veldig tilfeldig og vanskelig å se hva jeg skal gjøre Det er vel bare mengdetrening tenker jeg

Mengdetrening hjelper veldig for å trene seg opp til å se hvilke radoperasjoner som er mest effektive.

Supert, tusen takk! Blir det da også korrekt å skrive:

[tex]\begin{bmatrix} z\\ w\\ u \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{6i-ti}{2}\\ t\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{6}{2}\\ 0\\ 2 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} -\frac{i}{2}\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} \qquad \forall t \in \mathbb{C}[/tex]

Jepp!