matematikk.net

Hei! holder på med denne oppgaven:

Første tanke var å bruke definisjonen

[tex](Lf)(s)= \int_{0}^{\infty } e^{-st}f(t) dt[/tex]

vi har at [tex]f(\alpha t)=\alpha ^k f(t) \Leftrightarrow f(t)=\frac{f(\alpha t)}{\alpha^k}[/tex]

så,
[tex](Lf)(s)= \int_{0}^{\infty } e^{-st}f(t) dt = \frac{1}{\alpha^k} \int_{0}^{\infty } e^{-st}f(at) dt[/tex]

Men, jeg kom ikke så alt for langt... så for å bare prøve videre søker jeg opp hvordan man løser Laplace for [tex]f(\alpha t)[/tex]; [tex](Lf)(s)=\frac{1}{\alpha }F(\frac{s}{\alpha })[/tex]

Da vet jeg i hvertfall
[tex](Lf)(s)=\frac{1}{\alpha^k} \int_{0}^{\infty } e^{-st}f(at) dt = \alpha^{-k-1}F(\frac{s}{\alpha})[/tex]

Men så sitter jeg litt fast. Samt at det føles som juks/feil å bruke tabellhjelp. Så kunne trengt litt tips i riktig retning...

Fra definisjonen:

$$(\mathcal L f)(s) = \int_{t=0}^{t=\infty} e^{-st} f(t) \mathrm{d}t$$


Vi bruker skalerings-symmetrien for bytte ut $f(t) = \frac{f(\alpha t)}{\alpha^k}$.

Vi kan også smugle inn $\alpha$ i eksponentialfunksjonen: $e^{-st} = e^{\frac{-s}{\alpha} \alpha t}$

Altså er vi kommet til:

$$(\mathcal L f)(s) = \frac 1{\alpha^k} \int_{t=0}^{t=\infty} e^{\frac{-s}{\alpha} \alpha t} f(\alpha t) \mathrm{d}t$$

Vi ønsker nå å gjennomføre en variabelsubstitusjon.

Innfører $\tau = \alpha t$. Altså $\frac{ \mathrm{d} \tau} {\mathrm{d}t } = \alpha$.

Integrasjonsgrensene endres ikke:

$t = 0 \Rightarrow \tau = \alpha \cdot 0 = 0$

$t = \infty \Rightarrow \tau = \alpha \cdot \infty = \infty$

Altså:

$$(\mathcal L f)(s) = \frac 1{\alpha^k} \int_{\tau =0}^{\tau =\infty} e^{\frac{-s}{\alpha} \tau} f(\tau) \frac{\mathrm{d} \tau}{\alpha} = \frac 1{\alpha^{k+1}} \int_{\tau =0}^{\tau =\infty} e^{\frac{-s}{\alpha} \tau} f(\tau) \mathrm{d} \tau = \frac 1{\alpha^{k+1}} (\mathcal L f)(\frac s \alpha)$$

Takk! Da skjønte jeg det