Arctan(x) til maclaurin serie

[SAGB1997]

Hei, sitter med en oppgave der vi skal vise at:

[tex]arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} , for \left | x \right | <1[/tex]
(hint: integrer en passende geometrisk rekke fra 0 til x)
Jeg forstår det meste helt greit, men det er en del i oppgaven jeg ikke skjønner hvordan de kom fram til.

De setter opp:

[tex]\int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^2}dt[/tex]
Men så gjør de en konvertering av uttrykket 1/1+t^2 som jeg ikke forstår hvordan de kom fram til: (å integrere det går helt fint)

[tex]for\ \left | t \right |<1 \ har\ vi: \frac{1}{1+t^2}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^nt^{2n}[/tex]
Hva gorde de her? Regnet/prøvde de seg frem til det? Eller er dette noe man bare skal kunne utenatt? Hvis ikke, hva gjorde de?

Takk

[Emilga]

Vi kan ta utgangspunkt i Maclaurin-rekken til $g(x) = \frac 1{1+x}$.

Siden $g^{(n)}(x)= (-1)^n \cdot n! \cdot (1+x)^{-(n+1)}$, får vi at

$$ \frac 1{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ g^{(n)}(0) }{ n! } x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (-1)^n \cdot n! \cdot (1+0)^{-(n+1)} }{ n! } x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$$

Så substituerer vi $x \rightarrow t^2$ og får:

$$\frac 1{1+t^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (t^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^{2n}$$