Vise lukket mengde

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Stringselings
Cantor
Cantor
Innlegg: 105
Registrert: 07/12-2014 16:05

1.png
1.png (54.74 kiB) Vist 1130 ganger
Hvordan kan man i b) vise at mengden [tex]LIP(u)[/tex] er lukket ?
For meg ser du ut som om at [tex]LIP(u)=[0,\infty)[/tex] når man lar [tex]x=y[/tex]
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Ulikheten i betingelsen skal gjelde for alle par $(x,y)$, så derfor er det ikke nødvendigvis riktig at $LIP(u)=[0,\infty)$. (Det er bare riktig dersom $u(x)$ er en konstant funksjon)

$LIP(u)$ betegner mengden av alle Lipschitz-konstanter tilhørende funksjonen $u$. Det du skal vise er egentlig eksistensen av en beste(minimal) Lipschitz konstant. I utgangspunktet kan $LIP(u)$ enten være på formen $[k,+\infty)$ eller $(k,+\infty)$ for en ikkenegativ $k$. Anta det siste og bruk bevis ved motsigelse.
Svar