Finn buelengden til grafen til funksjonen f(x)=2x2/3 fra x=0 til x=1.
har lagt med oppgaven som et vedlegg, det jeg lurer på er om noen kan forklare meg hvordan de får grensen til integralet å endre seg fra 0-1 til 16-21 ?
Buelengde, endring av grensene til integralet?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Gjest
min gjetning er at grensene endrer seg ved at de bruker substitusjonen, det stemmer mat at man setter inn x=0 og x = 1 i u. skal prøve meg på oppgaven og så komme tilbake.
-
Gjest
Kan også løse uten å endre grensene, men da må du huske å sette tilbake u-substitusjonen etter du har integrert.
er rett og slett bare de nye grensene til integralet jeg ikke helt ser hvor de får verdiene fra-
Gjest
Muligens litt dårlig forklart
muligens se:
https://www.youtube.com/watch?v=FJoyIAIC1Ag
https://www.youtube.com/results?search_ ... bstitution
https://www.khanacademy.org/math/ap-cal ... -integrals
-
Gjest
Bare å si i fra hvis det var noe som ikke var klart 
Litt nøyere forklart; du bruker altså uttrykket du bruker som u-substitusjon, la oss kalle det u. For å finne ny nedre grense setter du inn den 'gamle' grensa, som gjelder for x (står egentlig x=0), inn i u. Tilsvarende gjør du for den øvre grensa (x=1). Og ta da! Du har fått nye grenser.
Litt nøyere forklart; du bruker altså uttrykket du bruker som u-substitusjon, la oss kalle det u. For å finne ny nedre grense setter du inn den 'gamle' grensa, som gjelder for x (står egentlig x=0), inn i u. Tilsvarende gjør du for den øvre grensa (x=1). Og ta da! Du har fått nye grenser.-
Gjest
Kanskje denne også er hjelpsom: https://brownmath.com/calc/usubst.htm
(beklager for alle postene på rad)
(beklager for alle postene på rad)
Det er rett at man skal bytte grenser når man bruker u-substitusjon. Dette kan man selvfølgelig vise gjennom et bevis. Jeg legger ved et så kan dere se på det hvis det er av interesse.
Teorem: La $U \subseteq \mathbb{R}$ være et intervall og $\phi:[a,b] \to U$ en kontinuerlig deriverbar funksjon. Anta at $f: U \to \mathbb{R}$ er en kontinuerlig funksjon. Da er $$\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u) \, \text{d}u = \int_a^b f(\phi(x))\phi'(x) \, \text{d}x$$
Bevis: Siden $f$ er en kontinuerlig og $\phi$ er kontinuerlig derivertbar, og komposisjonen og produktet av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig er $f(\phi(x))\phi'(x)$ kontinuerlig og dermed integrerbar. La $F$ være $f$ sin antideriverte, ved kjerneregelen har vi da at $(F(\phi(x))'= f(\phi(x))\phi'(x)$. Dermed er $$\int_a^b f(\phi(x))\phi'(x) \, \text{d}x = \int_a^b (F(\phi(x))' \, \text{d}x = F(\phi(b))-F(\phi(a))$$ ved analysens fundamentalteorem. Siden $F$ er $f$ sin antideriverte har vi også at $$\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u) \, \text{d}u = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} (F(u))' \, \text{d}u = F(\phi(b))-F(\phi(a))$$ Dermed ser vi at $\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u) \, \text{d}u = \int_a^b f(\phi(x))\phi'(x) \, \text{d}x$, som var det vi ville vise.
Teorem: La $U \subseteq \mathbb{R}$ være et intervall og $\phi:[a,b] \to U$ en kontinuerlig deriverbar funksjon. Anta at $f: U \to \mathbb{R}$ er en kontinuerlig funksjon. Da er $$\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u) \, \text{d}u = \int_a^b f(\phi(x))\phi'(x) \, \text{d}x$$
Bevis: Siden $f$ er en kontinuerlig og $\phi$ er kontinuerlig derivertbar, og komposisjonen og produktet av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig er $f(\phi(x))\phi'(x)$ kontinuerlig og dermed integrerbar. La $F$ være $f$ sin antideriverte, ved kjerneregelen har vi da at $(F(\phi(x))'= f(\phi(x))\phi'(x)$. Dermed er $$\int_a^b f(\phi(x))\phi'(x) \, \text{d}x = \int_a^b (F(\phi(x))' \, \text{d}x = F(\phi(b))-F(\phi(a))$$ ved analysens fundamentalteorem. Siden $F$ er $f$ sin antideriverte har vi også at $$\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u) \, \text{d}u = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} (F(u))' \, \text{d}u = F(\phi(b))-F(\phi(a))$$ Dermed ser vi at $\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u) \, \text{d}u = \int_a^b f(\phi(x))\phi'(x) \, \text{d}x$, som var det vi ville vise.