matematikk.net

Korleis kan eg delbrøkoppspalte 40 / (s^2 + 4s + 25)^2 ?

Eg har lært om komplekse tal, men eg har aldri prøvd å delbrøkoppspalte med eit nemnar-polynom med komplekse røtter, i andre på den måten.

Beklagar. Det skulle vere 5 i staden for 25.

Altså 40 / (s^2 + 4 + 5)^2

ARGH!

40 / (s^2 + 4s + 5)^2

Antar at det er ett integral du ønsker å løse.
Trikset er å skrive nevneren som ett helt kvadrat:

[(s+2) [sup]2[/sup]+1][sup]2[/sup]

Deretter bruker du substitusjonen u=s+2

Da blir nevneren:

(u[sup]2[/sup]+1)[sup]2[/sup]

Deretter prøver du med substitusjonen u=tanx for å få en enklere integrand å hanskes med.

Du kan ikke bruke delbrøksoppspaltning på dette utrykket. Men jeg vet hvordan du kan løse det!

Du skal løse 40[itgl]1/(s^2+4s+5)^2ds[/itgl]

Nevneren kan du skrive om til s^2 + 4s + 4 - 4 + 5 = (s+2)^2 + 1.

Så kan du sette u = s + 2. da er du = dx. Du får da:

40[itgl]1/(u^2+1)du[/itgl]

Og dette vet vi at er 40arctan(u) = 40arctan(s+2).

Man kan ikke integrere utrykket direkte etter substitusjonen u=s+2 slik som gjest gjorde i innlegget over.

Ved å benytte substitusjonen u=tanx som jeg foreslo kan integralet omformes til:

40[itgl][/itgl]cos[sup]2[/sup]xdx

Etter å ha beregnet dette integralet og ført tilbake den opprinnelige variabelen
får jeg svaret:

20[(s+2)/(s[sup]2[/sup]+4s+5)+arctan(s+2)]

Eg fekk det til! (Det var eg som skreiv den første posten, men gløymte å logge inn.) Eg skal Laplace-transformere uttrykket, så difor må det delbrøkoppspaltast.)

Eg gjorde om til 40 / [(s+2-j)^2 (s+2+j)^2].

Så delte eg opp i A/(s+2-j)^2 + B/(s+2-j) + A[*] / (s+2+j)^2 + B[*] / (s+2+j).

Då var det berre å finne A og B. A[*] og B[*] følger av A og B, sidan det er dei komplekskonjugerte.

To timar tok det å finne ut korleis, men så bra å endeleg få det til! =D