frie variabler [linalg/matte3]
Lagt inn: 15/02-2019 10:20
Heihei!!
Har et spørsmål tilknyttet en oppgave, sliter litt med å skjønne dette med frie variabler.
Skal løse Ax = b.
A = b er (b er altså en 0 0 0 0-kolonnevektor):
[tex]\left(\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)[/tex]
Det jeg vet (fra forelesning..):
- når b = [0,...,0] så har vi et homogent ligningssystem
i A har vi n>m (dvs flere kolonner enn rader), det forteller oss;
- har høyst m ledende elementer
- minst n-m frie variabler
- har uendelig mange løsninger
- systemet er lineært avhengig
så setter jeg opp koeffisientmatrisa:
[tex]\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right)[/tex]
Identifiserer pivotelementene:
det vil da være x_2 (første rad), x_5 (2. rad), x_6 (3. rad). disse vil da også være de ledende variablene.
sånn. dette VET jeg (tror jeg..).
Så kommer det jeg er litt usikker på; frie variabler.
I forelesning ble det sagt at noe som "Resten er frie variabler". Her har vi jo m = 3 ledende variabler. Vil vi da ha n-m frie variabler? Og siden vi har 7 kolonner, vil vi da ha 7-3=4 frie variabler? Først så tenkte jeg at de elementene som kommer etter pivotelementet, som ~= 0 ville være frie variabler, altså x_3, x_7. Men jeg er også litt usikker på hva det forteller meg at hele første kolonne = 0? Leste noe om at x_1 da kan være hva som helst (altså fri variabel??), fordi systemet fortsatt vil være tilfredsstilt.
(Beklager hvis dette ble veldig rotete/mye tekst, men tenkte det kunne være greit å få med alt jeg har tenkt, slik at man eventuelt lettere kan luke ut misforståelser...)
Det jeg har skrevet som svar hittil er i hvert fall
Setter [tex]x_{3}=s[/tex], og [tex]x_{7}=t[/tex] (siden de er frie variabler)
Fra koeffisientmatrisa får vi ligningssystemet (løsningene?)
[tex]\left\{\begin{matrix} x_{2} + x_{3} + x_{7} = 0 \\ x_{5} + x_{7} = 0 \\ x_{6} + x_{7} = 0 \end{matrix}\right.[/tex]
så når vi da løser med de frie variablene får vi ...
[tex]\left\{\begin{matrix} x_{2} = -t-s \\ x_{3} = t \\ x_{5} = x_{6} = -s \\ x_{7} = t & & \end{matrix}\right.[/tex]
Har et spørsmål tilknyttet en oppgave, sliter litt med å skjønne dette med frie variabler.
Skal løse Ax = b.
A = b er (b er altså en 0 0 0 0-kolonnevektor):
[tex]\left(\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)[/tex]
Det jeg vet (fra forelesning..):
- når b = [0,...,0] så har vi et homogent ligningssystem
i A har vi n>m (dvs flere kolonner enn rader), det forteller oss;
- har høyst m ledende elementer
- minst n-m frie variabler
- har uendelig mange løsninger
- systemet er lineært avhengig
så setter jeg opp koeffisientmatrisa:
[tex]\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right)[/tex]
Identifiserer pivotelementene:
det vil da være x_2 (første rad), x_5 (2. rad), x_6 (3. rad). disse vil da også være de ledende variablene.
sånn. dette VET jeg (tror jeg..).
Så kommer det jeg er litt usikker på; frie variabler.
I forelesning ble det sagt at noe som "Resten er frie variabler". Her har vi jo m = 3 ledende variabler. Vil vi da ha n-m frie variabler? Og siden vi har 7 kolonner, vil vi da ha 7-3=4 frie variabler? Først så tenkte jeg at de elementene som kommer etter pivotelementet, som ~= 0 ville være frie variabler, altså x_3, x_7. Men jeg er også litt usikker på hva det forteller meg at hele første kolonne = 0? Leste noe om at x_1 da kan være hva som helst (altså fri variabel??), fordi systemet fortsatt vil være tilfredsstilt.
(Beklager hvis dette ble veldig rotete/mye tekst, men tenkte det kunne være greit å få med alt jeg har tenkt, slik at man eventuelt lettere kan luke ut misforståelser...)
Det jeg har skrevet som svar hittil er i hvert fall
Setter [tex]x_{3}=s[/tex], og [tex]x_{7}=t[/tex] (siden de er frie variabler)
Fra koeffisientmatrisa får vi ligningssystemet (løsningene?)
[tex]\left\{\begin{matrix} x_{2} + x_{3} + x_{7} = 0 \\ x_{5} + x_{7} = 0 \\ x_{6} + x_{7} = 0 \end{matrix}\right.[/tex]
så når vi da løser med de frie variablene får vi ...
[tex]\left\{\begin{matrix} x_{2} = -t-s \\ x_{3} = t \\ x_{5} = x_{6} = -s \\ x_{7} = t & & \end{matrix}\right.[/tex]