frie variabler [linalg/matte3]

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
sGreenfield

Heihei!!

Har et spørsmål tilknyttet en oppgave, sliter litt med å skjønne dette med frie variabler.

Skal løse Ax = b.

A = b er (b er altså en 0 0 0 0-kolonnevektor):

[tex]\left(\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)[/tex]

Det jeg vet (fra forelesning..):
- når b = [0,...,0] så har vi et homogent ligningssystem
i A har vi n>m (dvs flere kolonner enn rader), det forteller oss;
- har høyst m ledende elementer
- minst n-m frie variabler
- har uendelig mange løsninger
- systemet er lineært avhengig

så setter jeg opp koeffisientmatrisa:

[tex]\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right)[/tex]

Identifiserer pivotelementene:
det vil da være x_2 (første rad), x_5 (2. rad), x_6 (3. rad). disse vil da også være de ledende variablene.

sånn. dette VET jeg (tror jeg..).

Så kommer det jeg er litt usikker på; frie variabler.
I forelesning ble det sagt at noe som "Resten er frie variabler". Her har vi jo m = 3 ledende variabler. Vil vi da ha n-m frie variabler? Og siden vi har 7 kolonner, vil vi da ha 7-3=4 frie variabler? Først så tenkte jeg at de elementene som kommer etter pivotelementet, som ~= 0 ville være frie variabler, altså x_3, x_7. Men jeg er også litt usikker på hva det forteller meg at hele første kolonne = 0? Leste noe om at x_1 da kan være hva som helst (altså fri variabel??), fordi systemet fortsatt vil være tilfredsstilt.

(Beklager hvis dette ble veldig rotete/mye tekst, men tenkte det kunne være greit å få med alt jeg har tenkt, slik at man eventuelt lettere kan luke ut misforståelser...)

Det jeg har skrevet som svar hittil er i hvert fall
Setter [tex]x_{3}=s[/tex], og [tex]x_{7}=t[/tex] (siden de er frie variabler)
Fra koeffisientmatrisa får vi ligningssystemet (løsningene?)

[tex]\left\{\begin{matrix} x_{2} + x_{3} + x_{7} = 0 \\ x_{5} + x_{7} = 0 \\ x_{6} + x_{7} = 0 \end{matrix}\right.[/tex]

så når vi da løser med de frie variablene får vi ...

[tex]\left\{\begin{matrix} x_{2} = -t-s \\ x_{3} = t \\ x_{5} = x_{6} = -s \\ x_{7} = t & & \end{matrix}\right.[/tex]
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Litt ukjent med notasjonen din, men du har rett i å sette de frie variablene lik vilkårlige konstanter som du har gjort. Jeg har ikke sett over om det blir rette løsninger, men det er ikke så verre enn å bare sette inn å sjekke om det blir korrekt.

Uansett, angående dine tanker om "frie variabler": Til en matrise kan vi tilordne et naturlig tall kalt rang. Dette er dimensjonen til kolonnerommet til matrisen, dvs dimensjonen til det rommet alle kolonnevektoren i matrisen spenner ut. Vi kan også tilordne et naturlig kalt nullitet (eng. nullity) som beskriver dimensjonen til nullrommet til matrisen. For matrisen $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ er $\text{rank}(A)=2$ fordi kolonnevektorene er lineært uavhengige så radrommet er $\mathbb{R}^2$, og $\dim(\mathbb{R}^2)=2$ så klart. For matrisen $$B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ ser vi at den siste kolonnevektoren er en lineær kombinasjon av den første og den siste. Resten av kolonnevektorene er lineært uavhengige (så de spanner ut $\mathbb{R}^3$. Derfor konkluderer vi med at $\text{rank}(B)=3$ og $\text{nullity}(B)=1$. Hvis du lar $B$ være koeffisientmatrise i et homogent likningssystem, ser du kanskje at vi får en fri variabel. Det er det samme som $\text{nullity}(B)=1$ - og det er ikke tilfeldig. Du legger kanskje også merke til at det er like mange kolonnevektorer i $B$ som $\text{rank}(B)+\text{nullity}(B)$. Dette er ingen tilfeldighet. Generelt gitt en $m\times n$-matrise $A$ har vi at $$\text{rank}(A)+\text{nullity}(A)=n$$ Dette kalles rank-nullity-teoremet.

Dette forklarer kanskje det du tenker på angående frie variabler. Generelt vil vi ha $\text{nullity}(A)$ frie variable for en koeffisientmatrise $A$. Vi har ligningsystemet $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$. Den har ikke 7 variable, men 6 (ellers hadde jo ikke matrisemultiplikasjonen her gitt mening. Det bør være ganske lett å se at $\text{rank}(A)=3$. Da vil vi ha $\text{nullity}(A)=6-3=3$ "fri" variable, hvis jeg har forstått hva du mener med en fri variabel. Håper dette klarerte litt, det er bare å spørre mer!

(Det er flere måter å definere rank på, og annet jeg har nevnt over i henhold til vektorrom istedenfor matriser. Alt dette sammenfaller da lineær transformasjoner også kan uttrykkes ved matriser, men det er vel ikke så veldig relevant akkurat i denne sammenhengen.)
Svar