matematikk.net

Hei:)
trenger hjelp til denne oppgaven, skjønner liksom ikke hvordan jeg skal gå frem her:
Oppgaveteksten er slik:

Beregn volumet av en kule (ball) av radie R i [tex]R^{3}[/tex]

Prøv også R4.

Jeg vet at volumet av en kule er:
[tex]\frac{4}{3} \pi * r^{^{2}}[/tex]

Denne Wikipedia-artikkelen vil nok svare på det meste du lurer på.

Gjest skrev:Hei:)
trenger hjelp til denne oppgaven, skjønner liksom ikke hvordan jeg skal gå frem her:
Oppgaveteksten er slik:

Beregn volumet av en kule (ball) av radie R i [tex]R^{3}[/tex]

Prøv også R4.

Jeg vet at volumet av en kule er:
[tex]\frac{4}{3} \pi * r^{^{2}}[/tex]

Vi bruker sfæriske polarkoordinater:
$$
\begin{align*}V & = \iiint_{R\mathbb{D}^3}\,\mbox{d}x\,\mbox{d}y\,\mbox{d}z \\
& = \int_{r=0}^R\int_{\theta = 0}^{2\pi}\int_{\varphi = 0}^{\pi} r^2\sin\varphi\,\mbox{d}r\,\mbox{d}\theta\,\mbox{d}\varphi \\
& = 2\pi\int_{r=0}^Rr^2\,\mbox{d}r\int_{\varphi=0}^{\pi}\sin\varphi\,\mbox{d}\varphi \\
& = 2\pi\left[\frac13r^3\right]_{r=0}^R\left[-\cos\varphi\right]_{\varphi=0}^{\pi} \\
& = 2\pi\times\frac13R^3\times 2 \\
& = \frac43\pi R^3.
\end{align*}$$

Problemet i $\mathbb{R}^4$ er det samme, bare at du får en annerledes Jacobian (som du må regne ut), og du får enda en retning å ta hensyn til.

Okei, tusen takk for hjelpen