matematikk.net

Jeg sliter veldig med å komme i gang med en oppgave.

En økolog ønsker å undersøke hjortebestanden i to forskjellige områder, Område 1 og Område 2, på Vestlandet. Han antar at antall hjort, X og Y , i Område 1 og 2 er Poisson fordelt.

I et 10 kvadratkilometers område regner økologen med at forventet antall hjort er henholdsvis λ1 = 2 i område 1 og λ2 = 3 i område 2. Finn P(X = 2) og P(X ≥ 3), og finn et tilnærmet uttrykk for P (X = Y). Presiser den forutsetningen du må bruke for å regne ut det siste svaret.



Jeg vet at E(X)=λ og har formelen for P(X=x)=(λ^x/x!)*e^(-λ), men jeg usikker på hvordan jeg skal gå frem.

Har funnet at P(X=2)≈0,27 og P(X≥3)=0,323 for λ1. Er dette riktig?

Utifra at det er gitt et område på 10 kvadratkilometer, er jeg usikker på om jeg skal regne for λ=λ1+λ2=5, eller skal jeg regne for både λ1 og λ2 ettersom at de er disjunkte? Skal jeg i det hele tatt regne punktsannsynligheten for λ2 ettersom, slik jeg tolker oppgaveteksten, λ2 presenterer variabel Y og ikke X?

Har sett på flere eksempler, men blir forvirret da disse stortsett handler om tid og kun én λ.

Håper det er noen Poisson-fan der ute som kan å oppklare litt

Har funnet at P(X=2)≈0,27 og P(X≥3)=0,323 for λ1. Er dette riktig?

Det er riktig.

For å finne et uttrykk for $P(Y = X)$ husker vi at:
$$P(Y = X) = \sum_{x = 0}^\infty P(Y = x | X = x) \cdot P(X = x)$$

Dersom vi antar at hendelsene X og Y er uavhengige --- Dvs. at antallene hjorter i de to områdene ikke påviker hverandre --- så kan vi forenkle dette uttrykke videre:
$$P(Y = x | X = x) \cdot P(X = x) = P(Y = x) \cdot P(X = x)$$

Setter inn:
$$P(Y = X) = \sum_{x = 0}^\infty P(Y = x) \cdot P(X = x) = \sum_{x = 0}^\infty e^{-\lambda_1} \frac{\lambda_1^x}{x!} \cdot e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_2^x}{x!} = \sum_{x = 0}^\infty e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \frac{(\lambda_1 \lambda_2)^x}{(x!)^2}$$

Som var uttrykket vi ville finne.