matematikk.net

Klarer ikke helt å se hvordan jeg skal invertere

4s/((s^2+1)(s^2+4))+(4se^-pi*s)/((s^2+1)(s^2+4))
Noen som kan hjelpe?? Mulig jeg bare ikke helt vet hvordan jeg skal bruke delbrøksoppspaltning her...

Av lineariteten til Laplacetransformasjonen er det du ønsker å finne ekvivalent med $$\mathcal{L}^{-1}\left \{\frac{4s}{(s^2+1)(s^2+4)}\right \} + \mathcal{L}^{-1}\left \{\frac{4se^{-\pi \cdot s}}{(s^2+1)(s^2+4)}\right \}$$ I mitt hode er det to måter å løse denne på: vanlig delbrøksoppspalting eller konvolusjon. Jeg vet ikke helt om du har lært om dette enda, men det har seg nemlig slik at $$\int_0^r f(r)g(t-r) \, \text{d}r = \mathcal{L}^{-1}\left \{ \mathcal{L} \{f(t)\} \mathcal{L} \{g(t)\} \right \}$$ Der venstresiden kalles konvolusjonen til $f$ og $g$, derav navnet. For det første leddet vi ønsker å finne den inverse laplacetransformasjonen av, observer at $\mathcal{L} \{\sin(2t)\} = \frac{2}{s^2+2^2}$ og $\mathcal{L} \{\cos(t)\} = \frac{s}{s^2+1}$, så vi får at $$\begin{alignat*}{2} \mathcal{L}^{-1}\left \{\frac{4s}{(s^2+1)(s^2+4)}\right \} &= 2\mathcal{L}^{-1} \left \{ \mathcal{L} \{\sin(2t)\} \mathcal{L} \{\cos(t)\} \right \} \\ &= 2 \int_0^t \sin(2r)\cos(t-r) \, \text{d}r \\ &= \frac43 \left( \cos(t) - \cos(2t) \right) \end{alignat*}$$ Som er det først leddet i den inverse laplacetransformasjonen du skulle utføre. Jeg overlater integralet og det neste leddet til deg - ser du veien selv?