matematikk.net

I Linear Algebra and its Applications 5th edition står det på side 82 kap 1.8:

"Every matrix transformation is a linear transformation. Important examples of linear transformations that are not matrix transformations will be discussed in Chapters 4 and 5."

Men på side 87 kap 1.9 står det:

"The discussion that follows shows that every linear transformation from R^n to R^m is actually a matrix transformation x |-> Ax ... "

Er ikke dette en selvmotsigelse? Jeg tolker det første sitatet (andre setning) som at det finnes noen lineæravbildninger som ikke er matrise"avbildninger", mens fra det andre sitatet leser jeg at alle lineæravbildninger er matrise"avbildninger".

smak skrev:I Linear Algebra and its Applications 5th edition står det på side 82 kap 1.8:

"Every matrix transformation is a linear transformation. Important examples of linear transformations that are not matrix transformations will be discussed in Chapters 4 and 5."

Men på side 87 kap 1.9 står det:

"The discussion that follows shows that every linear transformation from R^n to R^m is actually a matrix transformation x |-> Ax ... "

Er ikke dette en selvmotsigelse? Jeg tolker det første sitatet (andre setning) som at det finnes noen lineæravbildninger som ikke er matrise"avbildninger", mens fra det andre sitatet leser jeg at alle lineæravbildninger er matrise"avbildninger".

Jeg vil anta at det refereres til lineære funksjoner på uendelig-dimensjonale vektorrom, som ikke kan skrives på formen $\textbf{x}\mapsto A\textbf{x}$, der $A$ er en $m\times n$-matrise. En slik avbilding kan kun gjengis med en "uendelig matrise", men slike objekter regner man som regel ikke med.

For læringens skyld kan du prøve deg på følgende:
La $c_{00}$ være mengden av følger (dvs. funksjoner $\mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, \dots \} \rightarrow \mathbb{R}$) som kun har endelig mange ledd som ikke er lik $0$. Vi utstyrer $c_{00}$ med den koordinatvis addisjon, så hvis $\textbf{a} = (a_n) \in c_{00}$ og $\textbf{b} = (b_n) \in c_{00}$ så definerer vi $\textbf{a} + \textbf{b} = (a_n + b_n).$

(a) Vis at $c_{00}$ er et underrom av $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$.
(b) Vis at $c_{00}$ er uendelig-dimensjonalt (hint: jakt på en selvmotsigelse. Anta at $c_{00} = \langle\mathcal{B}\rangle$, der $\mathcal{B}$ er en endelig base)
(c) Definér funksjonen $R : c_{00} \rightarrow c_{00}$ ved $R\left((a_n)\right) = (b_n),$ der $$b_n = \begin{cases} 0 \text{ hvis }n=0 \\ a_{n-1}\text{ hvis }n\geq 1.\end{cases}$$ Vis at R er veldefinert og lineær.